Estabilidad

Capítulo 8
Análisis de estabilidad de sistemas
8.1 Definición de estabilidad. Ecuación característica
Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salidaacotada,
independientemente de cual fuese su estado inicial.
La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del
controlador.
Tal como se ha visto en los temasanteriores la respuesta de bucle cerrado para un sistema de
control generalizado es:
y =
GcGpGf
1+GcGpGfGm
ysp+
Gd
1+GcGpGfGm
d
Normalmente, la estabilidad o inestabilidad de un sistema esintrínseca al mismo, independientemente
de la entrada. Es un problema del sistema.
Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada inversa de
Laplace paraobtener la respuesta en tiempo real. Para ello hay que descomponer y(s) en fracciones
simples. Para realizar esta descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuación
característica (1 + Gc Gp GfGm = 0). La ecuación característica es el denominador de las funciones
de transferencia tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol,
es decir, es 1 más el producto delas funciones de transferencia del lazo de retroalimentación
(GOL).
Las raícs de la ecuación característica son !i, i = 1, , n. Por tanto, una vez realizaa la descomposición
en fracciones simples:y(s)=
y0
s
+
y1
s−!1
+
y2
s −!2
+ +
yn
s−!n
Tras realizar la transformada inversa de Laplace se obtiene la función en tiempo real:
y(t)= y0+ y1 e!1 t+ y2 e!2 t+ + yn e!n t
donde:
!i"C, #i
Es decir, todas las raíces de la ecuación característica son números complejos. Por tanto, para
todo i:
!= " +i#$e!t=e"t (cos #t+isen #t)
El valor de # no influye en la salida del sistemadesde el punto de vista de la estabilidad, ya
que tanto el seno como el coseno son funciones acotadas. Sólo cambia la frecuencia de la respuesta.
En cambio, si " es positivo, aparece un problema de...