Estadística Inferencial

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Estadística Inferencial

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El presente documento es una guía para el curso de inferencia estadística impartido en el Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática (INEGI), en el edificio de capacitación; y no tiene más que esa finalidad. La sección de ejercicios será presentada por el instructor de acuerdo a su preferencia,además de agregar los temas que él considere pertinentes. La parte inicial es una ubicación teórica que presenta algunos de los conceptos más importantes y resultados que serán utilizados en la parte formal. En ningún momento deberá seguirse al pie de la letra la secuencia de exposición, el instructor tomará la secuencia que considere trascendental en su impartición. La segunda parte es todo elcurso que se debe impartir, y se tocan los temas pero desde un punto de vista más “informal”, y el tema de estimación ya nada más se revisa en su formalidad detallada en la primera parte. La razón de la estructura de este documento es que normalmente la persona que lo elaboró1, imparte la parte teórica para generalizar el objetivo y la ubicación de la inferencia estadística y resultados importantesque serán formalmente utilizados por aquellos interesados en la formulación estadística- matemática.

Ernesto Cervantes López, INEGI

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PARTE UNO
El objetivo de la estadística es hacer inferencia con respecto a la población basándose en la información contenida en una muestra. Las poblaciones se describen mediante medidas numéricas denominadas parámetros y elobjetivo de la mayoría de las investigaciones estadísticas es hacer inferencia con respecto a uno o más parámetros de la población. El proceso de obtener un resultado observado de un fenómeno físico es denominado un experimento. Suponga que el resultado de un experimento es una variable aleatoria x, y f ( x,θ ) representa la función de densidad la cual refleja la distribución de las medidas de losindividuos en la población. Aunque el experimento no permite especificar completamente a f ( x,θ ) , y esto es posible si se puede asumir que f ( x,θ ) es un miembro de alguna familia conocida de distribución y que θ es un parámetro no conocido tal como la media o la varianza de la población. El objetivo de la estimación puntual es asignar un valor apropiado a θ basado sobre las observaciones de lapoblación, es decir, se asume que un conjunto de n variables independientes x1 , x 2 ,..., x n cada una con f ( x,θ ) observada de un conjunto de datos x1 , x 2 ,..., x n el cual puede representarse como f ( x1 , x 2 ,..., x n : θ ) = f ( x1 ,θ ) f ( x 2 ,θ )... f ( x n ,θ ) Se asume que la distribución de la población de interés puede ser representada por un miembro de alguna familia especificaconocida f ( x,θ ) , indexada por el parámetro θ . En algunos casos el parámetro puede ser un vector y se denota por Θ . Se denotara por Ω como el espacio paramétrico que denota el conjunto de todos los posibles valores que el parámetro θ puede asumir. Si Θ es un vector entonces Ω será un subconjunto del espacio euclidiano de la misma dimensión y la

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dimensión de Ω vaa corresponder al número de parámetros reales no conocidos. Se asume que x1 , x 2 ,..., x n es una muestra aleatoria de f ( x,θ ) y que τ (θ ) es una función de θ .

Definición
Un estadístico T = ι ( x1 , x 2 ...x n ) que es usada para estimar el valor de τ (θ ) es denominado un estimador de τ (θ ) y un valor observado de el estadístico t = ι ( x1 , x 2 ,..., x n ) es denominado una estimaciónde τ (θ ) . Equivalentemente se puede abusar y decir que un estimador es una regla que establece cómo calcular una estimación basada en las mediciones contenidas en una muestra. Es posible obtener varios estimadores (reglas para la estimación) diferentes para un mismo parámetro poblacional. Esto nos lleva a tratar de definir cuales son buenos o malos en la aproximación. Para ello debemos...