Estadistica capitulo 7. Transformacion de una variable aleatoria

Apuntes de Estadística I. Ingeniería Industrial. UCAB. Marzo 2013 1 
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
 

ESTADÍSTICA I 
 
Capítulo 7: TRANSFORMACIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA. 
 
Contenido: Transformaciones Biyectivas. Transformaciones No Biyectivas. Transformaciones 
Especiales. 
 

§§§§§§§§§§§§§§§ 
 Consideremos una variable aleatoria X (discreta o continua) y una función g de esa variable que 
define una nueva variable Y = g(X).  
 

¿Cuáles son las características aleatorias de la nueva variable? 
 
Esta pregunta  se va a responder en esta clase. El orden de presentación de estas respuestas será 
el siguiente 
 
1. Variable X Discreta. 
A. Función de Transformación g Biyectiva. 
B. Función de Transformación g No Biyectiva. 
 
2. Variable X Continua. 
A.Función de Transformación g Biyectiva. 
B. Función de Transformación g No Biyectiva. 
 
3. Transformaciones Especiales. 
 
1. Si la variable X es discreta vamos a partir de que conocemos su función de masa de 
probabilidades pX(x) y que queremos conocer la función de masa de probabilidades de y, pY(y). 
 
Recordemos que 
;      
1,2, … 
 El objetivo es despejar X de la ecuación y = g(X). Para ello pueden pasar una de dos cosas: o existe 
una solución única (g(X) es Biyectiva) o existen varias soluciones (g(X) No es Biyectiva). 
 
A. En el caso de que g(X) es Biyectiva, existe una solución única a la ecuación y = g(X), 
entonces, 
 
Esto se puede verificar fácilmente al graficar g(x) y trazar una recta horizontal. Si esta recta horizontal corta la curva g(x) en un único punto, entonces, g(x) es biyectiva. 
 
 
 
 
 

Apuntes de Estadística I. Ingeniería Industrial. UCAB. Marzo 2013 2 
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
 
Ejemplo 7.1) Sea X una Binomial con parámetros n= 4 y p = 1/3. Sea Y = X3. Calcular la función 
de masa de probabilidades de Y. 
 
Nótese que al transformar cada valor de X según la transformación Y = X3, se tiene 
 
X 
0 
1 
2 
3 
4 
Y = X3 
0 
1 8 
27 
64 
 
Note además que en la fila de los valores de Y no se repite ningún valor de Y. Esta es la clave 
para entender que la transformación bajo estudio es Biyectiva. 
 
Entonces, 
 
X 
0 
1 
2 
3 
4 
1
2
P{X = x} 
2
2
2
 
4  
4  
6  
 
3
3
3
3
3
Y = X3 
0 
1 
8 
27 
64 
1
2
P{Y = y} 
2
2
2
 
4  
4  
6  
 
3
3
3
3
3

Ю Ю 
 
 
B.En el caso en que g(X) no es Biyectiva, existen varias soluciones a la ecuación Y = g(X), 
entonces, 
 
   
 . . .
1,2, … . ,
 
   
 
 
Esto se puede verificar fácilmente al graficar g(x) y trazar una recta horizontal. Si esta recta 
horizontal corta la curva g(x) en más de un punto, entonces, g(x) no es biyectiva. Entonces, 
 
 
 
 Ejemplo 7.2) Sea X una Uniforme Discreta entre ‐3 y 5. Sea Y = X2. Calcular la función de masa 
de probabilidades de Y. 
 
Nótese que al transformar cada valor de X según la transformación Y = X2, se tiene 
 
X 
‐3 
‐2 
‐1 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
P{X = x} 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
Y = X2 
9 
4 
1 
0 
1 
4 
9 
16 
25 
 Note además que en la fila de los valores de Y se repiten valores de Y. Esta es la clave para 
entender que la transformación bajo estudio NO es Biyectiva. 
 

Apuntes de Estadística I. Ingeniería Industrial. UCAB. Marzo 2013 3 
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
 
En definitiva los posibles valores de Y son {0, 1, 4, 9, 16, 25} y sus probabilidades serán, 
 
Y 
0 
1 
4 
9 
16 
25 
P{Y = y} 
1/9 
2/9 
2/9 
2/9 
1/9 
1/9 

Ю Ю 
 
 Ejemplo 7.3) Sea X una Poisson con parámetro λ. Sea Y = g(X); donde g(X) viene dada por la 
expresión que sigue. Calcular la función de masa de probabilidades de Y. 
 
1;               
 
1;          
   
 
Nótese que la variable Y solo puede tomar dos posibles valores. Por tanto la función de masa 
de Y tiene la forma 
1
 
1
0;     
 
 ...