Estadistica Combinatoria

Capítulo 2

Cálculo Combinatorio

2.1 Introducción

Desarrollaremos en este capitulo algunos métodos para determinar el número de resultados posibles de un experimento en particular, o el número de elementos de un conjunto en particular.

2.2 Principio Fundamental De La Combinatoria ( P.F.C.)

La combinatoria es una rama de la Matemática que brinda técnicas para contar los distintosarreglos o formaciones de elementos elegidos de un conjunto finito.
Cada agrupamiento o formación puede diferir en el orden de sus elementos, en la naturaleza de estos o en ambas cosas a la vez.
El principio fundamental de la combinatoria indica que:
Si un evento o suceso E1 puede realizarse de n1 maneras diferentes, un segundo evento E2 puede realizarse de n2 maneras diferentes, y asísucesivamente, un k-ésimo evento Ek puede realizarse de nk maneras diferentes, entonces, el número de maneras diferentes en que los K eventos pueden realizarse sucesivamente (uno a continuación de otro) en el orden indicado está dado por: n1 . n2 . ...... nk.
Si representamos la situación mediante un “diagrama de árbol” es:
E1 E2 E3
1
1 2
n3
11 2 2
n3

1
n2 2
n3
1
1 2
n3
1
2 2 2
n3

1
n2 2
n3
Completar el árbol.

Ejemplo 2.2.1 ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar con el conjunto
{1, 2, 3, 7, 5, 9, 8}?
_ _ _ _ _
7 7 7 7 7 75 números distintos.
¿Cuántos si losnúmeros no se pueden repetir?
_ _ _ _ _
7 6 5 4 3 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 2520.

Responder:
a) ¿Cuántos de los números anteriores empiezan con 3? (con cifras repetidas y sin repetir)
b) ¿Cuántos son pares?
c) ¿Cuántos son menores que 50000?
d) ¿Cuántos comienzan con 9 y son múltiplos de 5?

2.3 Variaciones de Orden n de m Elementos

Consideremos m elementos distintos.Queremos calcular cuantos “ordenamientos” distintos podemos realizar con n elementos elegidos entre los m dados, si no pueden repetirse. Es decir, queremos calcular cuántas n-uplas se pueden formar eligiendo siempre n elementos distintos entre los m dados. Es claro que n m.

2.3.1 Definición

Dados m elementos distintos, llamaremos variación de orden n de estos m elementos, con n m, a toda n-uplaordenada formada por n elementos de los m dados.
Dos variaciones de orden n son distintas en cualquiera de los siguientes casos:
a) Difieren en al menos un elemento.
b) Si están formadas por los mismos elementos pero no están en el mismo orden.
El número de variaciones de orden n de m elementos se indica:

Recordemos que la expresión n! se denomina factorial de n y es:
n . (n-1) .(n-2) . ......... . 5 . 4 . 3 . 2 . 1.

2.4 Permutaciones de Orden n

Un caso particular de las variaciones de orden n, son las permutaciones de orden n, cuando las n-uplas se forman con todos los elementos dados, es decir, m = n.

2.4.1 Definición

Dados m elementos distintos, una permutación de orden m de los m dados es una variación de orden m de esos m elementos.
Dospermutaciones son distintas si difieren en el orden de sus elementos.

El número de permutaciones de orden m es:

Ejemplo 2.4.1 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 10 libros distintos en una estantería?
P10 = 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3628800 maneras.

2.4 Combinaciones de Orden n

Hasta el momento hemos seleccionado elementos distintos entre m dados y los hemos“ordenado” de distintas maneras. En el caso de las combinaciones de orden n, la situación es diferente, pues se seleccionan elementos distintos, pero sin considerar ningún orden. De esta forma no armaremos n-uplas, sino que formaremos subconjuntos.

2.5.2 Definición

Dados m elementos distintos, se llama combinación de orden n de m elementos, con n m a todo conjunto formado por n...