Estadistica1

Estad´ ıstica I
CSH Universidad Aut´noma Metropolitana-Iztapalapa o Eymard Hern´ndez L´pez a o α↔Ω June 6, 2011

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´ 0.1. CLASIFICACON DE VARIABLES ALEATORIAS.

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Definici´n 0.0.1. Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad, tal que la medida o de probabilidad P est´ definida como a P : F → [0, 1], cuya regla de correspondencia es P 1−P probabilidad de que ocurra probabilidad de fracasoEjemplo 0.0.2. Si denotamos como E a los eventos que si ocurre y F a los que no. Entonces la probabilidad de n eventos que ocurren es P (E ·E · ·· E) = P n
n veces

P (F · E ·E · ·· E · F ) = P n−2 (1 − P )2
n-2 veces

Entonces si x1 , ..., xn son eventos P (x1 , ..., xn ) = P
E

(1 − P )

F

0.1
0.1.1

Clasificac´n de variables aleatorias. o
Variables aleatorias discretas.Sea X una variable aleatoria discreta y sup´ngase que los valores posibles que o puede tomar est´n dados por x1 , ..., xn ordenados en orden creciente de maga nitud. Sup´ngase tambi´n que los valores se asumen con probabilidades dadas o e por P (X = xk ) = f (xk ) (1) para k ∈ N. Es conveniente introduct la func´n de densidad de probabilidad, definida por o P (X = x) = f (x) (2)

Para x = xk lasecuaciones anteriores son las mismas. En general una funci´n o de densidad discreta lo es si: 1. f (x) ≥ 0. 2.
x

f (x) = 1

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0.1.2

Funciones de distribuci´n para v.a. discretas. o

La funci´n de distribuci´n acumulada, o simplemente la funci´n de distribuci´n, o o o o para una variable aleatoria X se define por P (X ≤ x) = F (x) (3)

donde x ∈ R. La funci´n de probabilidad puedeobtenerse de la funci´n de o o densidad de probabilidad notando que F (x) = P (X ≤ x) =
u≤x

f (u)

(4)

donde la suma a la derecha se toma para todos los valores de u para los cuales u ≤ x,. Rec´ ıprocamente la funci´n de densidad de probabilidad puede obtenerse o de la funci´n de distribuci´n. o o Ejemplo 0.1.1. Sup´ngase que se lanza una moneda dos veces de tal forma que o el espaciomuestral es Ω : {CC, CS, SC, SS}. Repres´ntese por X el n´mero de e u caras que pueden resultar. Con cada punto muestral podemos asociar un n´mero u como se hizo en la sesi´n pasada. o • Hallar la funci´n de probabilidad para la variable aleatoria X. Suponiendo o que la moneda es honrada: P (CC) P (CS) P (SC) P (SS) Entonces P (X = 0) = P (SS) = 1/4 P (X = 1) = P (CS SC) = 1/4 + 1/4 = 1/2 = = = = 1/41/4 1/4 1/4

P (X = 2) = P (CC) = 1/4   0 si x ∈ (−∞, 0)  1  si x ∈ [0, 1) 4 F (x) = 3 si x ∈ [1, 2)   4  1 si x ∈ [2, ∞) • Obtener su representaci´n gr´fica. o a

0.1.3

Variables aleatorias continuas.

Si X es una variable aleatoria continua, la probabilidad de que X tome un valor determinado generalmente es cero. Por tanto no podemos definir una funci´n de o probabilidad en lamisma forma que para una variable aleatoria discreta. Para llegar a una distribuci´n de probabilidad para una variable aleatoria continua o notamos que la probabilidad de que X se encuentre entre dos valores diferentes tiene significado.

´ 0.1. CLASIFICACON DE VARIABLES ALEATORIAS.

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Ejemplo 0.1.2. Si se selecciona aleatoriamente un estudiante del grupo de estad´ ıstica, la probabilidad deque su estatura X sea precisamente 147 cent´ ımetros ser´ cero. Sin embargo hay una probabilidad mayor que cero de que X est´ ıa e entre 145 y 180 cent´ ımetros. Estas ideas y la analog´ con la secci´n 0.1.1, nos conducen a definir una ıa o funci´n f (x) tal que o

1. f (x) ≥ 0. 2.
∞ −∞

f (x)dx = 1.

donde la segunda es una proposici´n matem´tica del hecho que una variable o a aleatoria devalor real debe ciertamente encontrarse entre −∞ y ∞. Entonces definimos la probabilidad de que X se encuentre entre a y b como
b

P (a < X < b) =
a

f (x)dx

(5)

Podemos demostrar que esta definici´n satisface los axiomas de probabilidad. o Una funci´n f (x) que satisface los requisitos anteriores se llama funci´n de o o densidad de probabilidad o simplemente funci´n de densidad....