Estimadores suficientes

Estimadores suficientes

Decimos que un estimador es suficiente cuando es suficiente como estadístico, esto es, cuando tiene tanta información sobre el parámetro como la propia muestra. Másen concreto,
Sea  una población, y una m.a.s. de X. Decimos que un estimador,  de , es suficiente para el parámetro si la densidad o función de probabilidad de la muestra condicionada por unvalor cualquiera del estimador,

no depende del parámetro.
Las propiedades de los estimadores suficientes resultan de recordar las de los estadísticos suficientes. En concreto, la obtención deestimadores suficientes se realiza a través del criterio de factorización, que enunciamos aquí para estimadores:
Sea  una población, y una m.a.s. de X. Si para un estimador, , la función dedensidad o de probabilidad de la muestra puede descomponerse en la forma

donde  y h no depende de , entonces T es un estimador suficiente.
Recuérdese que esta factorización debe realizarse paratodo punto  y todo valor del parámetro , lo que ocasiona dificultades cuando el campo de variación de la muestra depende del parámetro.






Estimadores eficientes

En estadística se dice queun estimador es más eficiente o más preciso que otro estimador, si la varianza del primero es menor que la del segundo. Por ejemplo, si  y  son ambos estimadores de  y

se dice que  esmás eficiente que . Un estimador es más eficiente (más preciso), por tanto, cuanto menor es su varianza.
La eficiencia de los estimadores está limitada por las características de la distribución deprobabilidad de la muestra de la que proceden. El teorema de Cramér-Rao determina que la varianza de un estimador insesgado  de un parámetro  es, como mínimo,

donde  es la función de densidad deprobabilidad de la muestra  en función del parámetro , (denominada función de verosimilitud). Si un estimador alcanza esta cota mínima, entonces se dice que el estimador es de mínima varianza....