estrategia

Regresi´n Lineal
o
Rodrigo A. Alfaro

2009

Rodrigo A. Alfaro (BCCh)

Regresi´n Lineal
o

2009

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Contenidos

1

Regresiones Lineales
Regresi´n Cl´sica
o
a
Paquetes estad´
ısticos

2

Estad´
ısticos de Ajuste Global

3

Variables Especiales

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Regresi´n Lineal
o

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Regresiones Lineales

Regresi´n Cl´sica
oa

Regresi´n Lineal Cl´sica: Introducci´n
o
a
o

Suponemos que E (Y |X ) = α + βX , por lo que estimamos un modelo
como
yi = α + βxi + ui
Asumimos que ui tiene media cero y varianza finita σ 2 .
Si se cuenta con n datos, es equivalente a decir que se cuenta con n
ecuaciones y s´lo 2 inc´gnitas (α y β).
o
o
La generalizaci´n de la matriz inversa resulta ser el estimador de
o
M´ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO).

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Regresi´n Lineal
o

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Regresiones Lineales

Regresi´n Cl´sica
o
a

Regresi´n Lineal Cl´sica: Estimaci´n
o
a
o

Siendo a y b los estimadores de α y β como siguen
−1

n

a = x − b¯
¯
x

y

n

2

(xi − x )
¯

b=
i=1

(xi − x )(yi − y )
¯
¯
i=1

Una versi´n simplificada del modelopuede ser obtenida si
o
consideramos: (1) yi = yi − y , y (2) xi = xi − x , para los cuales
¯
¯
tenemos
yi = β xi + ui ⇒ b =

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Regresi´n Lineal
o

n
i=1 xi yi
n
2
i=1 xi

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Regresiones Lineales

Regresi´n Cl´sica
o
a

Regresi´n Lineal Cl´sica: Estimaci´n
o
a
o

Los estimadores MCO a y b pueden ser obtenidos por los m´todos
eanteriormente mencionados.
Si se asume ui ∼ N(0, σ 2 ) la funci´n de probabilidad conjunta depende
o
de α, ’beta y σ 2 . Al resolver el problema obtenemos como estimadores
de α y β los valores a y b.
El M´todo de Momentos tambi´n entrega el mismo resultado que
e
e
MCO. Los momentos relevantes son E (ui ) = 0 y E (xi ui ) = 0.
El primero es obvio en el sentido de que en “promedio” el modelono
debe equivocarse. El segundo es algo m´s complejo y tiene relaci´n con
a
o
el hecho de que el error no contiene informaci´n de la variable X . En
o
otras palabras el error se genera pese a que conocemos X .
Formalmente esto es E (ui |xi ) = 0 pero dicha restricci´n es muy
o
general, por tanto E (xi ui ) = 0 es una adaptaci´n simplificada.
o

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Regresi´nLineal
o

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Regresiones Lineales

Regresi´n Cl´sica
o
a

Regresi´n Lineal Cl´sica: Estimaci´n
o
a
o

En el caso general un supuesto importante es independencia de las
observaciones. Esto es que E (ui uj ) = 0 para todo i = j, es decir el
error que se comente para un individuo o empresa no “se repite” en
otra empresa.
Entendemos a Y como variable dependiente oexplicada y a X como
independiente o explicativa.

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Regresi´n Lineal
o

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Regresiones Lineales

Regresi´n Cl´sica
o
a

Regresi´n Lineal Cl´sica: CAPM
o
a

En el modelo CAPM yi representa el exceso de retorno del activo i
durante un per´
ıodo determinado de tiempo y xi representa el exceso
de retorno del mercado durante el mismo per´
ıodo.Si se asume el exceso de retorno del mercado como ex´genos
o
entonces el estimador b representa la sensibilidad del activo i con
respecto al mercado.
El par´metro β puede descomponerse como
a
β=

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σy
σxy
=ρ
⇒E
2
σx
σx

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o

yi
σy

=ρ

xi
σx

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Regresiones Lineales

Regresi´n Cl´sica
o
a

Regresi´n LinealCl´sica: CAPM
o
a

Notamos que β y ρ est´n relacionados. En particular, si los datos
a
ˆ a
est´n normalizados, β ser´ un estimador de ρ.
a
Para el modelo CAPM esto tiene mayor significancia en sentido que el
beta del mercado es la correlaci´n del activo con el mercado, ajustado
o
por un ratio de volatilidades.
Si la correlaci´n es perfecta entonces β captura la diferencia en riesgo
o...