Estructuras Algebraicas

SISTEMAS ALGEBRAICOS
Los sistemas algebraicos están compuestos por un conjunto y una o varias operaciones binarias. Estos sistemas tienen cierta estructura algebraica.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Las estructuras algebraicas tienen distinto nombre dependiendo de las propiedades de la operación u operaciones definidas en el conjunto.

ESTRUCTURA DE GRUPO
Un conjunto no vacío S en el que sedefine una operación binaria Δ [sistema algebraico (S, Δ)], tiene estructura de grupo si se cumplen las siguientes propiedades:
1) S es cerrado con respecto a la operación Δ.
2) La operación Δ es asociativa.
3) Existe en S un elemento idéntico para la operación Δ.
4) Todo elemento de S tiene inverso para la operación Δ.
Tiene estructura de grupo abeliano si además cumple que:
5) Laoperación Δ es conmutativa.

Ej.: Sea la operación Δ definida por
x Δ y = x + y + 1 x, y Q
Verificar si el sistema (Q, Δ) tiene estructura de grupo abeliano.

1) Cerradura.
Sean a, b Q
a Δ b = a + b + 1 Q
∆ es cerrada

2) Asociatividad.
Sean a, b, c Q
a Δ (b Δ c) = (a Δ b) Δ c
a Δ (b + c + 1) = (a + b + 1) Δ c
a + (b + c + 1) + 1 = (a + b + 1) + c + 1
a + b + c + 2 = a + b + c+ 2
∆ es asociativa

3) elemento idéntico
Si “ide” es el elemento idéntico para la operación ∆, debe cumplirse que a Q
a ∆ ide = a ide ∆ a = a ide Q
a + ide + 1 = a -1 + a + 1 = a
ide = -1 Q a = a
elemento idéntico para ∆ que es -1 Q

4) elementos inversos
Sea a Q, si “inv” es el inverso de a para la operación ∆, debe cumplirse que
a ∆ inv = ide inv ∆ a = ide inv Qa + inv + 1 = -1 -a -2 + a + 1 = -1
inv = -a -2 Q -1 = -1
a Q existe su inverso para la operación ∆ que es -a -2 Q
En este punto se concluye que el sistema (Q, ∆) tiene estructura de grupo.
5) Conmutatividad
Sean a, b Q
a ∆ b = b ∆ a
a + b + 1 = b + a + 1
∆ es conmutativa
En consecuencia, el sistema (Q, ∆) tiene estructura de grupo abeliano.

ESTRUCTURA DE ANILLO
Unconjunto no vacío S en el que se definen dos operaciones, tiene estructura de anillo si se cumplen las siguientes condiciones:
1. El conjunto S forma un grupo abeliano respecto a la primera operación.
1.1. Cerradura.
1.2. Asociatividad.
1.3. elemento idéntico.
1.4. elementos inversos.
1.5. Conmutatividad.
2. La segunda operación es
2.1. Cerrada.
2.2. Asociativa.
3. La segunda operación esdistributiva sobre la primera
3.1. Por la izquierda.
3.2. Por la derecha.

Al elemento idéntico de la primera operación se le llama elemento “cero del anillo”.
En la estructura de anillo, la segunda operación no necesariamente es conmutativa. En caso de serlo, la estructura recibe el nombre de anillo conmutativo.
Si en el anillo existe un elemento idéntico para la segunda operación, adicho elemento se le llama elemento “unidad del anillo” y la estructura recibe el nombre de anillo con unidad.
Ej.: Verificar que el sistema (Q, Δ, Θ) con las operaciones ∆ y Θ definidas como
x Δ y = x + y + 1
x Θ y = x + y + 1
tiene estructura de anillo.
1. En el ejemplo anterior se demostró que el sistema (Q, Δ) tiene estructura de grupo abeliano.
2. La operación Θ debe cumplir con laspropiedades de:
2.1 Cerradura
Sean a, b Q
a Θ b = a + b + ab Q
Θ es cerrada
2.2 Asociatividad
Sean a, b, c Q
a Θ (b Θ c) = (a Θ b) Θ c
a Θ (b + c + bc) = (a + b + ab) Θ c
a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c
a + b + c + bc + ab + ac + abc = a + b + ab + c + ac + bc + abc
Θ es asociativa

3. La operación Θ debe ser distributiva sobre ∆ por la:3.1 Izquierda
a Θ (b ∆ c) = (a Θ b) ∆ (a Θ c)
a Θ (b + c + 1) = (a + b + ab) ∆ (a + c + ac)
a + (b + c + 1) + a(b + c + 1) = (a + b + ab) + (a + c + ac) + 1
a + b + c + 1 + ab + ac + a = a + b + ab + a + c + ac + 1
2a + b + c + ab + ac + 1 = 2a + b + c + ab + ac + 1
Θ es distributiva sobre ∆ por la izquierda.

3.2 Derecha
(b ∆ c) Θ a = (b Θ a) ∆ (c Θ a)
(b + c + 1) Θ a = (b + a +...