estructuras algebraicas

DEMOSTRACIONES
1) Regularidad: Los elementos de todo grupo son regulares. La regularidad significa que la
ley cancelativa (izquierda derecha) es válida para todos los elementos del grupo.
Teorema:Si G es un grupo con una operación binaria  , entonces las leyes de cancelación
izquierda derecha se cumplen en G, es decir:
ab  acb  c y ba  cab  c a,b,c G;
Demostrar el teoremaenunciado.
2) Teorema: Ecuaciones en un grupo: Si G; es un grupo y a y b son elementos
cualquiera de G; , entonces las ecuaciones lineales a x  b y ya  b admiten
soluciones únicas en G; .
Launicidad de la solución se debe a la unicidad del inverso.
Demostrar el teorema enunciado.
3) Demostrar el siguiente teorema: en todo grupo hay un elemento identidad único.
4) Demostrar el siguienteteorema: el inverso de cada elemento de un grupo es único.
5) Sea G; un grupo donde e es neutro y a inverso de a . Demostrar que:
a x  ax  e y xa  ax  e
6) Sea G; un grupo donde ees neutro y a inverso de a . Demostrar que:
a x  ex  a y xa  ex  a
Una traducción de esta propiedad es que si la composición de dos elementos es el neutro,
entonces cada uno es el inversodel otro.
7) Sea G; un grupo. Para todo par de elementos a, b de G, demostrar que:
abba  e.
Siendo e neutro y a, b los inversos de a y b respectivamente.
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8) Teorema: Inverso dela composición: Demostrar que si G es un grupo con operación
binaria  , entonces para todo a, bG se verifica que el inverso de la composición de dos
elementos es igual a la composición de losinversos en orden permutado. Es
decir: ab  ba .
Siendo e neutro y a, b los inversos de a y b respectivamente.
9) Sea G;un grupo conmutativo para todo par de elementos a, b de G, demostrarque:
abab  e. Siendo e neutro y a, b los inversos de a y b respectivamente
10) Demostrar que, si a es un elemento de G; y aa  aa  e , el elemento neutro del
grupo.
11) Sea...