Estructuras algebraicas

1. Dada la estructura algebraica [pic], en la que se define la operación [pic] así: [pic]
Demostrar que [pic] es un grupo abeliano
Para determinar si [pic] es un grupo abeliano, se debecumplir:
1. La operación [pic] es ley de composición interna porque al operar [pic] todos los resultados pertenecen a [pic].
[pic]
2. Asociatividad:
[pic]
Se debecumplir que
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3. Existencia del elemento neutro:
Sea “e” el elemento neutro de la operación entonces [pic] se cumple que[pic]
[pic]
[pic]
Por lo anterior se cumple que [pic] en el neutro de la operación.
4. Existencia de elemento simetrizable:
Sea “x” un elementocualquiera de la estructura algebraica; entonces si “x” es simetrizable, debe cumplirse que[pic]entonces[pic]es el simétrico de x.
[pic]
[pic]
[pic]
Entonces[pic]
[pic]
5. Conmutatividad:
[pic] por ser conmutativa la suma de números enteros.
[pic]
De lo anterior, se cumple que [pic] es un grupo abeliano
1. En [pic]se define la operación [pic] así: [pic]. Demostrar que [pic] es un grupo.
Para demostrar que [pic] es u n grupo se debe cumplir que:
1. [pic] sea ley de composición interna.[pic]
Es la ley de composición interna porque, todos los elementos pertenecen a [pic]
2. La operación debe ser asociativa.
Sea [pic] entonces
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic] (i)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] (ii)
Por los puntos (i) (ii) se concluye que la operación esasociativa.
3. El elemento neutro.
Sea n, m y w elementos neutros
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]...