Estudio competo de una funcion

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y
MECANICA

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
SEGUNDO SEMESTRE

CALCULO DIFERENCIAL
Dr. Vinicio Jaramillo
NOMBRE: Acosta Iván
Segundo “C”

PERIODO: SEPTIEMBRE - FEBRERO

Ejercicio 1.‐ Realiza el estudio completo de la función  f ( x ) =

ln x + 1
x

 y realize su gráfica. 

Dominio 
Simetrías Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función 
Asíntotas 
Máximos y mínimos 
Curvatura. Puntos de Inflexión 
 
Se trata de un función que tiene un valor absoluto, por lo tanto vamos a descomponerla y luego la estudiamos. 

1)
2)
3)
4)
5)
6)

ln ( − x ) + 1
⎧ ln ( − x ) + 1
⎧
si x < 0
si x < 0
⎪
⎪ f1 ( x ) =
ln x + 1 ⎪
⎪
x
x
 
f(x)=
A partir de ahora llamaré  ⎨
=⎨
x
⎪ ln ( x ) + 1 si x ≥ 0
⎪f ( x ) = ln ( x ) + 1 si x ≥ 0
⎪
⎪ 2
x
x
⎩
⎩
1) Dominio 
Para calcular el dominio estudiamos el dominio de cada trozo y en particular para cada función sus elementos que nos 
puedan dar problemas, en este caso, por ejemplo, el hecho de que lleve un logaritmo y sea racional. 
⎛ ln ( − x ) + 1 ⎞
Por ser racional  Dom ⎜
⎟=
x
⎝
⎠

− {0} ;  Por llevar un logaritmo Dom ( ln ( − x ) ) =( −∞ , 0 ) ;  Y por estar definida en  

x < 0 ≡ ( −∞ , 0 ) . Nos sale que haciendo la intersección de todo eso: Dom( f1 ) =

⎛ ln ( x ) + 1 ⎞
Por  ser  racional  Dom ⎜
⎟=
x
⎝
⎠

− {0} ∩ ( −∞ , 0 ) ∩ ( −∞ ,0 ) = ( −∞ ,0 ) . 

− {0} ;    Por  llevar  un  logaritmo Dom ( ln ( x ) ) = ( 0, +∞ ) ;    Y  por  estar  definida  en  

x ≥ 0 ≡ [ 0 , +∞ ). Nos sale que haciendo la intersección de todo eso: Dom( f 2 ) =

Luego el                                    Dom( f ) = Dom( f1 ) ∪ Dom( f 2 ) = ( −∞ , 0 ) ∪ ( 0 , +∞ ) =

− {0} ∩ ( 0 , +∞ ) ∩ [ 0 , +∞ ) = ( 0 , +∞ ) . 

− {0}  

2) Simetrías  
En  una  función  valor  absoluto  podemos  estudiar  la  simetría  en  la  función  descompuesta  o  en  la  no  descompuesta. 
Hagámoslo  en  la  no descompuesta que  es mucho  más rápido. Al  terminar  también  tenemos  la  simetría  estudiada en 
la descompuesta. 
⎫
⎪
x
⎪
ln − x + 1 ln x + 1 − ln x − 1 ⎪
⎪
f ( −x ) =
=
=
⎬ Tenemos f ( x ) = − f ( − x ) luego hay simetría respecto del origen  
x
−x
−x
⎪
− ln − x − 1 − ln x − 1 ln x + 1 ⎪
− f ( −x ) =
=
=
⎪
x ⎪
−x
−x
⎭
Nosfijamos que para estudiar la simetría no hace falta estudiarla en la función descompuesta, así que ya sabes. Para 
estudiar la simetría cuando aparezcan valores absolutos no hay por qué estudiarla en la descompuesta. Tan sólo tener 
en cuenta que un menos dentro de un valor absoluto no sirve para nada. 
Ahora bien si alguien quiere ver como también sale con la función descompuesta que lea estas líneas si no, pues que 
pase al punto siguiente 
⎧ ln ( − x ) + 1
si x < 0
ln x + 1 ⎪
⎪x
 
f(x)=
=⎨
x
⎪ ln ( x ) + 1 si x ≥ 0
⎪
x
⎩
f(x)=

 

ln x + 1

⎧
⎪
ln
⎪ f ( −x ) =
⎪
⎪
⎪
f ( −x )⎨
⎪
⎪
ln
⎪ f ( −x ) =
⎪
⎪
⎩

−x +1
−x

⎧ ln ( x ) + 1
⎪
⎪ −x
=⎨
⎪ ln ( − x ) + 1
⎪
−x
⎩

⎧ − ln ( x ) − 1
⎪
⎪
x
=⎨
− ln ( − x ) − 1
si − x ≥ 0 ⎪
⎪
x
⎩

si − x < 0

⎧ − ln ( − x ) − 1
− x + 1 ln x + 1 − ln x − 1 ⎪
⎪
x
=
=
=⎨
x
−x
−x
−ln ( x ) − 1
⎪
⎪
x
⎩

⎧ − ln ( − x ) − 1
⎪
⎪
x
=⎨
− ln ( x ) − 1
si x ≤ 0 ⎪
⎪
x
⎩

si x > 0

si x ≤ 0
si x > 0

 

si x < 0
si x ≥ 0

⎧
⎧ ln ( x ) + 1
⎧ ln ( x ) + 1
si − x < 0 ⎪
⎪
⎪
ln − x + 1 ⎪
⎪
x
x
⎪− f ( − x ) =
=⎨
=⎨
⎪
x
⎪ ln ( − x ) + 1 si − x ≥ 0 ⎪ ln ( − x ) + 1
⎪
⎪
⎪
x
x
⎪
⎩
⎩
− f ( −x )⎨
⎧ ln ( − x ) + 1
⎪
si x < 0
⎪
ln − x + 1 lnx + 1 ⎪
⎪
x
=
=⎨
⎪− f ( − x ) =
x
x
⎪
⎪ ln ( x ) + 1
si x ≥ 0
⎪
⎪
x
⎩
⎩
 
3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función 

⎧ ln ( − x ) + 1
⎪
⎪
x
=⎨
ln ( x ) + 1
si x ≤ 0 ⎪
⎪
x
⎩

si x > 0

si x ≤ 0
si x > 0

 

ln ( − x ) + 1
⎧
= 0 ⇔ ln ( − x ) + 1 = 0 ⇔ ln ( − x ) = −1 ⇔ − x = e−1 ⇔ x1 = − e −1
⎪ f1 ( x ) → y = 0 ⇔ f1 ( x...