eter

Ley de Gauss
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie
cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite
calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones
simétricas de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita.
La figura izquierda muestra
una superficie
de forma
arbitraria queincluye un
dipolo. El número de líneas
que salen de la carga es
exactamente igual al número
de líneas que entran en el
mismo recinto y terminan en
la carga negativa. Si contamos el número que sale como positivo y el número
que entra como negativo, el número neto que sale o entra es cero. En otras
distribuciones de carga, como ocurre en la figura derecha, el número neto de
líneas que sale porcualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a
la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo
de la ley de Gauss.
La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que
atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico, cuya definición
general es :
→

Φ =

→

∫ E⋅ dA

Frecuentemente estamos interesados enconocer el flujo del campo eléctrico a
través de una superficie cerrada, que viene dado por
→

Φ neto =

→

∫ E ⋅ dA

La figura muestra una superficie esférica de
radio R con su centro en la carga puntual Q.
El campo eléctrico en un punto cualquiera de
la superficie es perpendicular a la superficie y
tiene la magnitud

E=

kQ
r2

El flujo neto a través de esta superficieesférica es

Φ neto

→ → 
= ∫ E⋅ dA = E// dA  = ∫ EdA = E ∫ dA = EA


→

→

en donde E ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La
integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a
4πR2 .
Sustituyendo

Φ neto =

E=

kQ
R2

y

A = 4πR 2

se obtiene

kQ
4πR 2 = 4 kπQ
R2

Idéntico resultado hubiéramos obtenidosi la
superficie fuese irregular. Si se trata de sistemas
de más de una carga puntual como en la figura,
el flujo neto a través de la superficie cerrada
señalada es igual a

Φ neto = 4 kπ(q1 + q 2 )
Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en función de la permitividad
del vacío:

k=

1
4 πεo

de modo que la ley de Gauss se escribe

Φ neto =

Q dentro
εo

Cálculo delcampo eléctrico mediante la ley de Gauss
En algunas distribuciones de carga altamente simétricas, tales como una esfera
uniformemente cargada o una línea infinita de carga, es posible determinar una
superficie matemática que por simetría posee un campo eléctrico constante
perpendicular a la superficie. A continuación puede evaluarse fácilmente el flujo
eléctrico a través de esta superficie yutilizar la ley de Gauss para relacionar el
campo eléctrico con la carga interior a la superficie. Una superficie utilizada para
calcular el campo eléctrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie
gaussiana. En esta sección utilizaremos dicho método para calcular el campo
eléctrico producido por diferentes distribuciones simétricas de carga.
Campo eléctrico E próximo a una cargapuntual
• superficie gaussiana, elegimos una superficie
esférica de radio r centrada en la carga.
• E es radial y su magnitud depende sólo de la
distancia a la carga.
• E tiene el mismo valor en todos los puntos de
nuestra superficie esférica.
El flujo neto a través de esta superficie es, pues,
→

→

Φ neto = ∫ E⋅ dA = ∫ EdA = E ∫ dA = EA = E 4πr 2
Pero la ley de Gauss nos da

Φ neto =Q dentro
εo

Igualando obtenemos

E=

1 Q
4πεo r 2

Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga
Densidad de carga uniforme σ
Por simetría el campo eléctrico debe:
• ser perpendicular al plano.
• depender sólo de la distancia z del
plano al punto del campo.
• tener el mismo valor pero sentido
opuesto en los puntos situados a la
misma distancia por arriba y por...