Euclideanismo

El Euclideanismo como modelo epistemológico general
El problema epistemológico se plantea inicialmente en los siguientes términos:
PE1: ¿Cómo evitar el regreso infinito en las definiciones y en las pruebas y llevar a cabo una justificación lógica de las teorías matemáticas?
Se trata del punto de partida de nuestra reconstrucción racional. Las respuestas a esta pregunta constituyen el objetivode lo que habitualmente se denomina "fundamentos de las matemáticas". El Programa Euclídeo fue la empresa racionalista que intentó, a lo largo de más de 2000 años, detener ese doble regreso infinito y dar una base firme al conocimiento.
En términos generales puede decirse que el euclideanismo postula que todo conocimiento matemático puede obtenerse a partir de un conjunto finito de proposicionestrivialmente verdaderas (axiomas) que constan de términos perfectamente conocidos (términos primitivos). Se trata, según Lakatos (1978) de unPrograma de Trivialización del Conocimiento Matemático.
Desde este punto de vista, las tres teorías clásicas de la epistemología de las matemáticas: el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer, pueden ser consideradascomo tres teorías euclídeas del saber matemático; las tres pretenden detener los regresos infinitos mediante diferentes fomas de trivialización del conocimiento matemático: el logicismo pretende la trivialización lógica de las matemáticas, el formalismo pretende construir una metateoría trivialy el intuicionismo, por fin, pretende recortar el conocimiento matemático hasta alcanzar su médulatrivialmente segura. Otro rasgo común a las diferentes perspectivas del Programa Euclídeo es que no utilizan ninguna base empírica porque no consideran que la epistemología de las matemáticas sea una disciplina experimental.
En las instituciones docentes en las que el euclidianismo es el modelo epistemológico predominante, prevalecen los estilos docentes "clásicos": teoricismo y tecnicismo (Gascón, 1994).2.2. Modelos epistemológicos cuasi-empíricos
El fracaso del Programa Euclídeo llevó a la convicción de que tanto el origen como el método del conocimiento matemático, e incluso la justificación del mismo, deberían fundamentarse -como en el caso de otras ciencias- en la experiencia, aunque sin tomar esta noción en el sentido empirista más elemental, sino en el sentido más sofisticado de"experiencia matemática".
Mientras que para el euclideanismo los únicos falsadores potenciales de una teoría matemática axiomático-formal son los falsadores lógicos (identificándose "verdad" y "consistencia"), para los modelos casi-empíricos toda teoría axiomático-formal es la formalización de una teoría matemática informal y, por tanto, se acepta la posibilidad de que existan falsadores heurísticos.
Elmodelo cuasi-empírico provoca la destrivialización del conocimiento matemático al enfatizar el papel esencial del proceso de descubrimiento. Se produce en este punto un cambio importante en la forma de plantear el problema epistemológico: mientras que el euclideanismo tenía como único objetivo el estudio de lajustificación lógica de las teorías matemáticas, la epistemología cuasi-empíricapretende resolver el problema más amplio y de naturaleza no estrictamente lógica del desarrollo del conocimiento matemático.
Tenemos así una primera reformulación del problema epistemológico que ahora se plantea en los siguientes términos:
PE2: ¿Cuál es la lógica del desarrollo del conocimiento matemático? ¿Cómo se establece si una teoría T' es superior o no es superior a otra teoría T?
Laepistemología de las matemáticas empieza a ser considerada como una disciplina experimental y a utilizar los hechos históricos (la historia de las matemáticas)como base empírica.
En las instituciones docentes en las que los modelos epistemológicos cuasi-empíricos son predominantes, prevalecen los estilos docentes que hemos denominado:modernismo y procedimentalismo (Gascón, 1994).
2.3. Epistemología...