Evaluacion de funciones
Páginas: 4 (828 palabras)
Publicado: 1 de julio de 2015
CENTRO DE INGENIERÍA Y DESARROLLO
INDUSTRIAL
MAESTRÍA EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA
TAREA 2: EVALUACIÓN DE FUNCIONES
DR. ERIK CÉSAR HERRERA HERNÁNDEZ
PRESENTA: ING. EDREI REYES SANTOS
LUGAR Y FECHA:QUERÉTARO, QRO. JUNIO 2015
Solución a ecuaciones diferenciales utilizando la Transformada de Laplace y
comparación de resultados con el método de Stehfest.
Si se tiene una ecuación diferencial dondese utiliza la convolución como la que se
muestra a continuación f (t ) = e
t
* sen ( t ) . Se puede resolver utilizando el teorema
de la transformada de Laplace de una convolución.
Teorema de latransformada de Laplace de una convolución.
L { f ( t )}
Si
y
L {g ( t )} existen
para
s>a≥0
entonces
L { f ( t ) * g ( t )} = L { f ( t )} * L {g ( t )} = F ( s ) G ( s ) y su transformadainversa
de Laplace se obtiene aplicando el teorema de convolución siguiente:
Teorema de la transformada inversa de Laplace de una convolución.
L−1 { F ( s ) G ( s )} = f ( t ) ⊗ g ( t ) Donde laconvolución desarrolla mediante
t
f (t ) ⊗ g (t ) =
∫ f (τ ) * g (t − τ ) dτ
0
Solución a la ecuación diferencial f (t ) = e
t
* sen ( t )
utilizando la transformada de
Laplace.
Si usamos el teoremade la transformada de Laplace de una convolución se tiene
entonces que:
{
}
{ }
L et * sen ( t ) = L et * L {sen ( t )} , usando la definición de la transformada de
Laplace se tiene:
∞
L { f ( t)} = e − st * f ( t )dt
∫
→
f (t ) = et *sen ( t )
∴
0
∞
∞
∞
L {et * sen ( t )} = e − st * ( et *sen ( t ) )dt = e − st *et dt * e − st *sen(t) dt
0
0
0
∫
∞
∫e
0∞
− st
∫
*e dt = e
at
0
∫
∞
− st + at
∫
dt = e
0
p
p
( − s+a ) t
∫
dt = lim e
p →∞
0
∫
( − s+a )t
e( − s +a )t
dt = lim
p →∞ ( − s + a )
0
e( − s +a ) ∞
e( − s+ a )0 e − ( − s+a ) ∞
e − ( − s+a )0
=
−
= − −( − s + a ) + −( − s + a )
(
−
s
+
a
)
(
−
s
+
a
)
1
1
1
1
= −
+
=
=
− ( − s+a ) ∞
− ( − s + a )0
− ( − s + a )e
− ( − s + a )e
...
INDUSTRIAL
MAESTRÍA EN CIENCIA Y TECNOLOGÍA
TAREA 2: EVALUACIÓN DE FUNCIONES
DR. ERIK CÉSAR HERRERA HERNÁNDEZ
PRESENTA: ING. EDREI REYES SANTOS
LUGAR Y FECHA:QUERÉTARO, QRO. JUNIO 2015
Solución a ecuaciones diferenciales utilizando la Transformada de Laplace y
comparación de resultados con el método de Stehfest.
Si se tiene una ecuación diferencial dondese utiliza la convolución como la que se
muestra a continuación f (t ) = e
t
* sen ( t ) . Se puede resolver utilizando el teorema
de la transformada de Laplace de una convolución.
Teorema de latransformada de Laplace de una convolución.
L { f ( t )}
Si
y
L {g ( t )} existen
para
s>a≥0
entonces
L { f ( t ) * g ( t )} = L { f ( t )} * L {g ( t )} = F ( s ) G ( s ) y su transformadainversa
de Laplace se obtiene aplicando el teorema de convolución siguiente:
Teorema de la transformada inversa de Laplace de una convolución.
L−1 { F ( s ) G ( s )} = f ( t ) ⊗ g ( t ) Donde laconvolución desarrolla mediante
t
f (t ) ⊗ g (t ) =
∫ f (τ ) * g (t − τ ) dτ
0
Solución a la ecuación diferencial f (t ) = e
t
* sen ( t )
utilizando la transformada de
Laplace.
Si usamos el teoremade la transformada de Laplace de una convolución se tiene
entonces que:
{
}
{ }
L et * sen ( t ) = L et * L {sen ( t )} , usando la definición de la transformada de
Laplace se tiene:
∞
L { f ( t)} = e − st * f ( t )dt
∫
→
f (t ) = et *sen ( t )
∴
0
∞
∞
∞
L {et * sen ( t )} = e − st * ( et *sen ( t ) )dt = e − st *et dt * e − st *sen(t) dt
0
0
0
∫
∞
∫e
0∞
− st
∫
*e dt = e
at
0
∫
∞
− st + at
∫
dt = e
0
p
p
( − s+a ) t
∫
dt = lim e
p →∞
0
∫
( − s+a )t
e( − s +a )t
dt = lim
p →∞ ( − s + a )
0
e( − s +a ) ∞
e( − s+ a )0 e − ( − s+a ) ∞
e − ( − s+a )0
=
−
= − −( − s + a ) + −( − s + a )
(
−
s
+
a
)
(
−
s
+
a
)
1
1
1
1
= −
+
=
=
− ( − s+a ) ∞
− ( − s + a )0
− ( − s + a )e
− ( − s + a )e
...
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