examen


Hoja de problemas: Estudio algebraico de las Cónicas Curso 05-06


Problema para entregar

a) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”:
.
b) Hacer un estudio completo de la cónica anterior para a =0
Ecuación reducida
Semiejes, excentricidad y parámetro de la cónica
Centro o vértice
Ejes
Focos y directrices
Dibujo de la cónica.


1) Hacer un estudiocompleto de las siguientes cónicas:
a)
b)
c)

2) Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos y .

3) Hallar el centro y las asíntotas de la cónica: .

4) Clasificar la siguiente cónica según los valores del parámetro “a”:


5) Hallar sabiendo que las ecuaciones , , corresponden a una misma cónica expresada en dos sistemas de referencia ortonormalesdistintos.

Problemas propuestos.
P1.- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (7,1), (5,-3),(-1,-3), (-3,1) y . Calcular sus elementos característicos, la ecuación reducida y representar la cónica.
P2.- Hallar la cónica que pasa por los puntos (1, 0), (3, 2) y (1, -4) y tal que e=0.

P3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados, su centro esC(-2,1); el eje mayor es paralelo a OY, su longitud es 10 y la distancia focal 8.

P4.- Dados los puntos A(3,4),B(-3,9), C(-3,-1), D(-9,4) y E(3/5,0). Calcular la ecuación de la cónica que pasa por dichos puntos. b) Hallar los ejes, vértices, focos y excentricidad de la cónica anterior. c) Ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente que pasa por E(3/5,0). d) Ecuaciones de las rectas quepasan por (9,9) y son tangentes a la elipse.

P5.- Estudiar las siguientes cónicas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h) .

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

P1.- La ecuación de la hipérbola equilátera es ; centro (2,-3); eje focal , y eje no focal x=2; focos y ; directrices y ; y de ecuación reducida .

P2.- Circunferencia .

P3.-

P4.- a) . b) eje mayor ; ejemenor ; vértices A(-3,-1),
A’(-3,9), B(3,4), B’(-9,4); focos ; y excentricidad . c) recta tangente y recta normal . d) y .
P5.- a) b) c)

d) f) g)
h)


SOLUCIONES Problemas Cónicas 05-06

Solución ejercicio 1) a)


Clasificación
, Elipse
ELIPSE REAL

Ecuación reducida

valores propios de , ya que se toma como el valor propio de menor valor absoluto.Semiejes


Excentricidad y parámetro de la cónica



Centro


Ejes
Eje focal x’’


Luego, x’’.
El eje no focal y’’
Por tanto, y’’

Vértices principales
Se hallan intersecando el eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio :

Los vértices secundarios se hallarían de manera análoga, intersecando el eje no focal con la circunferencia de centro el origen yradio .

Focos
Se hallan intersecando el eje focal con la circunferencia de centro el origen y radio c:



Directrices
Son rectas paralelas al eje no focal y’’ y tales que distan del centro de la cónica:
dir











Dibujo de la cónica





Solución ejercicio 1) b)


Ecuación matricial
.
Clasificación
Cónica de tipo hiperbólico.
Se trata de una HIPÉRBOLA.Ecuación reducida

;
De acuerdo con el criterio expresado anteriormente, tomamos para el valor propio de signo contrario a c, es decir, ;.
Por tanto, la ecuación reducida queda:
.

Excentricidad y parámetro de la cónica
, ya que .



Centro y ejes
Para calcular el centro, resolvemos el sistema , obteniéndose el punto C = (-2/3, -2/3).
Los ejes son rectas que pasan por el centroy tienen la dirección de los vectores propios asociados a , respectivamente.
Los vectores propios asociados a son las soluciones del sistema:
.
Por tanto, el eje focal tiene de ecuación: .
El eje no focal es perpendicular al anterior, luego tiene de ecuación:
.
Para calcular los vértices, intersecamos el eje focal con la circunferencia de centro C y radio a:

obteniéndose los puntos ....