Exercicis Complementaris Modul 6

Fonaments Matemàtics
Apliquem les tècniques de càlcul

EXERCICIS COMPLEMENTARIS DEL MÒDUL 6
EXERCICI 1:
Dels següents conjunts digueu si són oberts o tancats, i acotats o no acotats. Hi ha algun que sigui
compacte? I connex?
(a) [-1,3]
(b) [5,12)
(c) (-∞,2]
(d) (-12,2) ∪ {x : 3 < x < 7}
(e) (2,4] ∪ (3,+∞)
(f) (-∞,-5] ∪ [-2,1] ∪ [20,+∞)
SOLUCIÓ:
(a) Es tracta d’un interval tancat i acotat (ja queté cotes superiors i inferiors). És també compacte
perquè és tancat i acotat. Per exemple x = -3 és una cota inferior (tots els números que estan a
l’interval són més grans que –3) i x = 10 és una cota superior (tots els números de l’interval són
més petits que 10). Com que és un interval, està clar que és connex.
(b) Aquest interval no és ni obert ni tancat. Per un costat no és obert ja que el 5pertany a l’interval
però qualsevol interval obert centrat en el 5, (5-r, 5+r) ja surt de l’interval. D’altra banda, el conjunt
no és tancat perquè el seu complementari és (- ∞ , 5) U [12, ∞ ), que no és obert ja que ara el 12 no
té cap interval obert del tipus (12-r, 12+r) totalment contingut en el conjunt.
Per tant, el conjunt [5, 12), tot i estar acotat (exemples de cotes: inferior 4, superior14), no és un
conjunt compacte. En canvi sí que és connex.
(c) Aquest conjunt és una semirecta tancada perquè el punt 2 pertany al conjunt, per tant, és un
conjunt tancat. No és compacte per no ser acotat: no hi ha cap nombre que sigui més petit que tots
els del conjunt. En canvi, sí que és connex: donats dos punts qualssevol (per exemple, x = -20 i x =
-1), el segment que els uneix quedacompletament dins del conjunt.
(d) Aquest conjunt està format per la unió dels intervals (-12,2) i (3,7). Els dos intervals de què
consta la unió són oberts, per tant el conjunt resultant de la unió també serà obert. D’altra banda no
és tancat ja que el seu complementari és (- ∞ , 12] U [2, 3] U [7, ∞ ) que no és obert (per tant (-12,
2) U (3, 7) no és compacte). Tampoc serà connex donat que si prenem,per exemple, el punt x = 0
(que està en el primer interval) i el punt x = 5 (que està en el segon), el segment que els uneix surt
fora del conjunt: observeu que per anar des de x = 0 fins a x = 5 s’ha de passar per x = 2.5 que no
pertany al conjunt.
(e) Si efectuem la unió dels dos intervals obtenim la semirecta oberta ( 2,+∞ ) , per tant, el conjunt
resultant és un conjunt obert. El conjunt no ésacotat ja que no hi ha cap cota superior. En no ser ni
tancat ni acotat no és compacte. En ser un interval obert, el conjunt és connex.
(f) Aquest darrer apartat és un tancat perquè els tres intervals que composen la unió ho són. En
canvi no està acotat. Per què? Observeu el primer interval: (-∞,-5]. Aquest interval sí que té cota
superior (penseu, per exemple, amb x = 1) però no en té d’inferior:quin punt podeu triar de forma
que sigui més petit que qualsevol altre del conjunt? Òbviament cap. En conseqüència no és
compacte. Pel mateix raonament que a (d) tampoc és connex.

1

Fonaments Matemàtics
Apliquem les tècniques de càlcul

EXERCICI 2:
Considerem l’operació intersecció entre dos conjunt A i B que ens dóna un altre conjunt format per
tots aquells elements que estan alhora a A i a B.Aquesta operació, com sabeu, es defineix de la
següent manera:
A ∩ B = {x : x ∈ A i x ∈ B}
La unió de dos intervals oberts ja hem vist que sempre ens dóna un conjunt obert. És també cert
que la intersecció de dos intervals oberts pot donar un conjunt obert? (Vegeu-ho amb algun
exemple).
SOLUCIÓ:
Com heu pogut comprovar a teoria, l’operació de la unió entre conjunts “conserva” el caràcter detancat i d’obert:
- “si dos o més conjunts són oberts la seva unió també”
- “si dos o més conjunts són tancats la seva unió també”
Amb aquest exercici volem comprovar si això també és cert amb la intersecció per al cas dels
intervals oberts (el cas d’interval tancat es resoldria de forma similar). Considerem els següents
intervals: (-3,1) i (-2,3). Quina és la seva intersecció? Són aquells punts que...