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Demostracion adicional
Demostración del teorema.
La demostración se efectúa en dos partes: Primero es necesario encontrar vectores w1 y w2 con las propiedades enunciadas y luego demostrar queestos vectores son únicos.
Por el proceso de Gram-Schmidt, existe una base ortonormal {v1, v2..., vn} para w. Sean
w1= [u, v1] v1 + [u, v2] v2 +...+ [u, vn] vn(10)
Y
w2= u - w1 (11)
Se concluye que w1 + w2= w1+ (u - w1)= u, de modo que queda por demostrar que w1 está en W y que w2 es ortogonal a W. Pero w1 está en W porque es una combinación lineal delos vectores básicos para W. Para demostrar que w2 es ortogonal a W es necesario probar que [w2, w]= 0 para todo vector w en W. Pero si w es cualquier vector en W, se puede expresar como unacombinación lineal
w= k1v1 + k2v2 +...+ knvn
De los vectores básicos v1 v2..., vn. Así,
[w2, w]= [u - w1, w]= [u, w] - [w1, w] (12)
Pero
[u, w]= [u, k1v1 + k2v2 +...+ knvn]
=k1[u, v1] + k2 [u, v2] +...+ kn [u, vn]
Y por el inciso c)
[w1, w]= [u, v1] k1+ [u, v2] k2 +...+ [u, vn] kn
Así, [u, w] y [w1, w] son iguales, de modo que (12) produce [w2, w]= 0, que es lo que queríaprobarse.
Para ver qué (10) y (11) son los únicos vectores con las propiedades enunciadas en el teorema, supóngase que también es posible escribir
u = w´1 + w´2 (13)
Donde w´1 está en W y w´2es ortogonal a W. Si de (13) se resta la ecuación
u =w1+w2
Se obtiene
0= (w´1 – w1)+ (w´2 - w2)
O bien,
w1 – w´1 = w´2 - w2 (14)
Como w2 y w´2 son ortogonales a W, su diferencia también esortogonal a W, ya que para cualquier vector w en W se puede escribir
[w, w´2 - w2] = [w, w´2] - [w, w2]= 0 – 0 = 0
Pero w´2 - w2 es un vector en W, ya que por (14), es la diferencia de los dos vectoresw1 y w´1 que están en el sub-espacio W. Así, w´2 - w2 debe ser ortogonal a sí mismo; es decir,
[w´2 - w2, w´2 - w2] = 0
Pero esto significa que w´2 – w 2= 0 por el axioma 4 en la definición de...