Factorizacion

Factorización.
Introducción.
La factorización es un tema muy interesante y poco abordado en algunos niveles de estudio pero es un tema muy interesante que serviría de mucho si se le practicara y aprendiera.
La factorización es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños, en el caso de números debemos utilizar los números primos que, al multiplicarlos todos,resulta el objeto original.
En este trabajo abordaremos los tipos de factorización que hay y pondremos algunos ejemplos para que se les pueda practicar y aprender.
Los tipos de factorización que vamos a abordar son:
Máximo común divisor
Factorización de polinomios
Factorización por agrupamiento
Factorización de trinomios x2+bx+c
Factorización de trinomiosax2+bx+c
Combinación de distintos métodos de factorización
Factorización de otros productos notables
Factorización.
Máximo común divisor.
Factorizar un numero entero significa expresarlo como producto de otros números enteros, así,
20 = 1 x 20
= 2 x 10
= 4 x 5
Encontrar las listas de todos los factores de cada número, fijarse en los comunes a ambaslistas y elegir el mayor de ellos.
Encontrar la descomposición de factores primos de ambos números. Considerar aquellos primos que son factores de ambos números.
Algoritmo de Euclides. Se divide el numero mayor entre el menor. Si el residuo no es cero, se divide el divisor anterior entre el residuo obtenido y se continua de esta manera hasta que el residuo es cero.Factorización de polinomios.
MCD de monomios Para encontrar el MCD de dos o más monomios, encontramos el MCD de los coeficientes y nos fijamos en las variables que aparecen en todos los monomios, elegimos las que aparezcan elevadas al menor exponente.
Ejemplo.
Encontrar el MCD de 20x3y2 y 16x2y4z.
Solución:
El MCD de 20 y 16 es 4
Las variables que aparecen en ambosmonomios son x y y.
Cada variable común elevada al menor exponente x2y2
El MCD de 20x3y2 y 16x2y4 es 4x2y2
MCD de un polinomio Ejemplo.
Factorizar el MCD de 20c3d2 – 45c2b5.
Solución:
El MCD de 20c3d2 y 45c2d5 es 5c2d2
Escribimos 20c3d2—45c2d2= 5c2d2(4c—9b3).
Factorización por agrupamiento.
Solución:
Llamemos z al numero, entonces su reciproco es 1z.
Planteamosla ecuación z=1z=- 103.
Resolvemos la ecuación. Manipulamos a z como si fuera un número. Para ello multiplicamos la ecuación por z y después por 3:
Ahora pasamos todos los términos de un lado de la igualdad para tener una ecuación igualada a cero
Para factorizar el polinomio 3z2+10z+3 escribimos el termino 10z de la siguiente manera
Agrupando y factorizando obtenemos
Para que elproducto de dos factores sea cero alguno de ellos debe ser cero, entonces
De donde, el número buscado es:
*Factorización de trinomios x2*+bx+c
¿Que base debe tener el sistema de numeración para que la presentación del numero 27 en dicho sistema se 123?
Solución:
Debemos escribir el número 123 en forma desarrollada. Recuerda que en los sistemas de numeración posicionales, cada posiciónindica una potencia de la base, entonces el 1 esta en lugar de la base al cuadrado, el 2 esta en el lugar de la base a la primera potencia y el 3 en el lugar de la base elevada a cero así, el numero se escribe
Y como este número es igual a 27 entonces la ecuación que obtenemos es
Pasamos todos los términos de un lado de la igualdad, para obtener una ecuación igualada a cero
Ahorafactorizamos el polinomio. Debemos encontrar dos números tales que el producto de ellos sea -24 y cuya suma sea 2. Tales números son 6 y -4
Por la propiedad del cero en la multiplicación tenemos que
Despejando obtenemos las soluciones
a= - 6 o a=4
Como las bases de los sistemas de numeración deben ser positivas entonces solo nos quedamos con el 4. El numero 123 es la representación de 27 en...