faraday

Cuando cada una de las funciones g1,g2…….gn en (2) es lineal en las variables dependientes
x1,x2……,xn obtendremos la forma normal de un sistema de ecuaciones lineales de primer
orden:
ௗ௫ଵ
ௗ௧ௗ௫ଶ
ௗ௧

=a11(t)X1+a12(t)x2 +…..+ a1n(t)Xn + ‫(1 ׬‬t)
=a21(t)X1+a22(t)x2 +…..+ a2n(t)Xn + ‫(2 ׬‬t)

.
.
ௗ௫௡
ௗ௧

=an1(t)X1+an2(t)x2 +…..+ ann(t)Xn + ‫(݊ ׬‬t)

un sistema con la forma de lasecuaciones (3)
se denomina simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes,
aij y las funciones ‫ ,݅ ׬‬son continuos en un intervalo común.

 x1 (t ) 
 a11 (t ) a12 (t ) L a1n (t ) 





 x (t ) 
 a (t ) a22 (t ) L a2 n (t ) 

X =  2  , A(t ) =  21
, F (t ) = 
M
M
M 





 x (t ) 
 a (t ) a (t ) L a (t ) 

 n 
 n1


n2
nnf1 (t ) 

f 2 (t ) 
M 

f n (t ) 


El sistema(3) de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se
pueden expresar asi:

 x1 ( t )   a11 (t )

 
d  x 2 (t )   a 21(t )
=
dt  M   M

 
 x (t )   a (t )
 n   n1

a12 (t )

L

a 22 ( t ) L
a n 2 (t ) L

O simplemente como :

X′ = AX + F

a1 n (t )   x1 (t )   f1 ( t ) 

 
a 2 n (t )  x 2 (t )   f 2 (t ) 
+
M  M   M 

 

 x (t )   f (t ) 
a nn (t )   n   n 

Si el sistema es homogéneo su forma matricial es :

X ′ = AX
Ejemplos:
x
X= 
 y

sistema homogéneo:
dx
= 3x + 4 y
dt
dy
= 5x − 7 y
dt

3 4 
X′ = 
X
 5 − 7

sistema no homogéneo:
dx
= 6x + y + z + t
dt
dy
= 8 x + 7 y − z + 10t
dt
dz
= 2x + 9 y − z + 6t
dt

 x 
 
X =  y 
 z 
 

 6 1 1
 t


 
X′ =  8 7 − 1 X + 10t 
 2 9 − 1
 


 6t 

Un vector solución en un intervalo I es cualquiervector columna

cuyos elementos son funciones diferenciables que
satisfacen el sistema de (4) en el intervalo.

-CON MATRICES:
¿Podemos hallar siempre, para un sistema lineal...