Fase 2 BORIS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Escuela de: Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

Nombre del curso: Métodos numéricos
Código: 100401_22

Programa: Ing. De Sistemas





FASE2


Presentado a:
Martí­n Gómez Orduz
Presentado Por



Bogota - Colombia
25 de junio de 2015
Método de Newton-Raphson

Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de unaecuación algebraica o trascendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciones.
         
Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como trascendentes y con él es posible obtener raíces complejas.

Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, lafórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.
El método de Newton-Rapshon se deduce a partir de esta interpretación geométrica.

El método de Newton-Raphson, comotodos los de aproximaciones sucesivas, parte de una primera aproximación y mediante la aplicación de una fórmula de recurrencia se acercara a la raíz buscada, de tal manera que la nueva aproximación se localiza en la intersección de la tangente a la curva de la función en el punto y el eje de las abscisas.
De la figura se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente:

Que sereordena para obtener:


Determina la raiz f(x)=-.9*x^2+1.7*x+2.5 usando x0=5 efectuando el cálculo hasta el error 0.01%.

 Y su gráfica es
 

 Método de Punto Fijo

El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. No obstante que en la actualidad existen otrosmétodos más eficientes, el de punto fijo se considera el más simple en sus principios y en él se pueden apreciar claramente todas las características de un método de aproximaciones sucesivas.
Sea F(x) = 0 una ecuación algebraica o trascendente cualquiera. Se suma x en ambos miembros y se obtiene:
F(x)   +  x   =   x
Donde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como
G(x)  +    x   =  xSe sustituye en la ecuación
x   =  G(x)
Obsérvese ahora que cualquier ecuación puede representarse en esta forma, siguiendo el procedimiento anterior.
Si x = a
Es una raíz de la ecuación, entonces
F (a)   = 0
O bien, al sustituir en la ecuación
a  =  G (a)
El método de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir un valor inicial (x0) apropiado (cercano a la raíz) en el segundo miembro dela ecuación (3). Si x0 es la raíz, se deberá cumplir la ecuación (4); esto es:
x0  =  G(xo)
Pero esto será difícil de que ocurra; seguramente el valor inicial principal proporcionado xo será solo un valor cercano a la raíz. Entonces, en el caso general:
x0  =/  G(x0)
O bien          
x1  = G(x0)
Donde x1 es la nueva aproximación de la raíz a. se sustituye x1 en el segundo miembro de la ecuación(3) y se obtiene:
x2  =  G(x1)
Al proceder reiteradamente en esta forma se induce que la n-ésima aproximación es:
Xn  = G(Xn-1)
n = 1,2,3,.....
De acuerdo con lo visto en los temas anteriores, puede afirmarse que si el método converge, la diferencia en valor absoluto entre valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas será cada vez más pequeña a medida que n aumente, y con esto se tendrá uncriterio para saber cuándo termina la aplicación del método.
Es posible afirmar que si en la n-ésima iteración el método se está aproximando a la raíz o converge a ella, entonces:
|G´(t)| = |a - Xn| / |a - Xn-1| <1
Es decir, el método es convergente si: 
|G´(t)|<1                       Xn-1 Esto significa que el método converge en la n-ésima iteración cuando el valor absoluto de la derivada...

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