Filtros de Cauer y Bessel

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE INGENIERIA


Circuitos Integrados Analogicos

SEMESTRE 2014-1


Aproximaciones de Filtros de
Cauer y Bessel


Elaborada por: Morales Aguilar Héctor Edoardo
Grupo: 04
Semestre: 2014-1




Miércoles 5 de noviembre de 2013


Filtro de Cauer
Los filtros de Cauer o la aproximación de Cauer es un método con el cual sedetermina el orden de los filtros activos, el cual se basa en las funciones elípticas de Jacobi, el nombre Cauer se debe a su creador el físico y matemático alemán Wilhelm Cauer.
Antes de entrar a la metodología de la elaboración del filtro, se tratara de describir brevemente las funciones elípticas de Jacobi.
Función elíptica de Jacobi.
La creación de estas funciones se basa en el problema decalcular la longitud del arco de una elipse, de ahí el nombre de elípticas, este problema se presenta físicamente cuando se trabaja con péndulos sometidos a grandes oscilaciones y en el estudio de la mecánica de cuerpo rígido.
La forma en la que se llega a estas funciones es;
Tomando como parametrización de la elipse , con b>a>0
, la longitud queda dada por;



A esto se le conoce como unaintegral completa de segundo orden, a partir de este planteamiento y según el problema al cual se le busque dar solución se nos es posible llegar a encontrar distintas ecuaciones, en el caso de la primera función elíptica de Jacobi, esta se basa en una integral completa de primer orden, y esta se define como;
Si,

La inversa de esta función es la primera de las funciones elípticas de Jacobi;Las otras dos funciones se definen a partir de las relaciones siguientes:


En este caso la función que nos interesa para la realización de los filtros, es la función cd, y esta se define como;


Características del filtro:
El filtro elíptico presenta un rizado en la banda de paso y en la frecuencia de corte y su banda de transición es bastante estrecha como podemos observar la figura [1]el que un filtro elíptico paso bajo de 5 orden.

Fig. [1]. Filtro elíptico paso bajo
A diferencia del el filtro de Chebyshev, el filtro elíptico presenta una onda, definida por la variación en la tensión de salida ya sea de la potencia máxima o mínima. Sin embargo, la el filtro elíptico presenta una onda dB igualdad tanto en la banda de paso y la banda de supresión. En un filtro con unaondulación banda de paso, el aumento de tensión después de la corte puede tener efectos perjudiciales sobre el trazado de circuito conectado si mal diseñado. Debido a esto, el filtro es elíptico también se clasifican por su valor Amin. Este valor, en decibelios, que indica la caída de la respuesta de DC de manera que la salida no puede elevarse más allá de este umbral a partir del corte. Por último, elfiltro se caracteriza por la ws /valor wc. Este valor define el roll-off, o lo rápido que las gotas del filtro de la frecuencia de corte hasta la parada de la banda.




Funcion de Transferencia de un Filtro de Cauer

Dónde:




Metodología.
La forma en la que se logra obtener la función de transferencia es mediante la siguiente metodología, lo primero que se obtiene es el orden delfiltro(n).







Y a continuación se obtienen los demás términos de la función de transferencia.




Las sumatorias de los términos σi y Ωi, convergen rápidamente, por lo cual solo es necesario sumar hasta el tercero o cuarto termino. Finalmente los coeficientes quedan determinados por:





Como se puede apreciar realizar estos cálculos, puede llegar a tornarse tedioso y confusopor lo cual muchos ingenieros deciden programar el método, y/o recurrir a tablas, a continuación se presenta otro método, en el cual se usan tablas para llegar a la función de transferencia:
Para empezar, es necesario contar con los datos del filtro que se va a diseñar, estos datos son la atenuación mínima αmax, atenuación máxima αmin, frecuencia de paso ωp y frecuencia de supresión ωs....