formulario de estaidstica

I.T. INDUSTRIAL
METODOS ESTADÍSTICOS
FORMULARIO
I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA
X v.a

k modalidades x1 , x2 , ..., xk ; n datos

Media

i=1

x=
¯

k
P

i=1

2

Varianza poblacional

σ =

S2 =

Varianza muestral

Coeficiente de Asimetría

γ1 =

Coeficiente de Apuntamiento

γ2 =

Covarianza

"

ni xi
n

ni x2
i

− x2
¯

n

k
P

ni (xi − x)2
¯

kP

(xi − x)3 ni

i=1

n−1

i=1

k
P

i=1

nσ 3

(xi − x)4 ni

Cov(X, Y ) =

Coeficiente de correlación lineal
Recta de regresión de Y sobre X

k
P

nσ4
K p
P P

i=1 j=1

nij xi yj

N
Cov(X, Y )
ρ=
σxσy
#

"

−3
− xy
¯¯

#

Cov [X, Y ]
Cov [X, Y ]
y=
ˆ
x+ y−
¯
x
¯
V ar (X)
V ar (X)

1

II. PROBABILIDAD
Operaciones con sucesos

SucesoOcurre siempre que
−

Probabilidad
µ ¶
−

no ocurre A

A
A/B
A∩B
A∪B

P A = 1 − P (A)
P (A ∩ B)
ocurre A si ya ha ocurrido B P (A/B) =
P (B)
P (A ∩ B) = P (A)P (B/A)
ocurra A o B
P (A ∩ B) = P (B)P (A/B)
ocurren A y B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Si A y B son incompatibles
P (A/B) = 0
P (A ∩ B) = 0
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

Si A y B independientes
P (A/B)= P (A)
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B)

Teorema de la probabilidad total y fórmula de Bayes

Probabilidad total P (A) =

k
P

P (A/Bi )P (Bi )

i=1

Fórmula de Bayes

P (Bi /A) =

P (A ∩ Bi )
P (A/Bi )P (Bi )
= k
P
P (A)
P (A/Bi )P (Bi )
i=1

2

ALGUNAS DISTRIBUCIONES IMPORTANTES
Distribución Función masa de probabilidad/función dedensidad EX
U(n)

B(n, p)

P

1
P [X = xi ] =
n
P [X = k] =

Xi
n

à !

n k
p (1 − p)n−k
k
;

np

k = 0, 1, 2...n
P (λ)

H(N, n, p)

e−λ λk
P [X = k] =
; k = 0, 1, 2...
k!
à !Ã
!
Np
Nq
k
n−k
à !
P [X = k] =
N

λ

,

np

n
max{0, n − Nq } ≤ k ≤ min{n, Np }
Ã

!

BN(K, p)

K +x−1 k
P (X = x) =
p (1 − p)x ; x = 0, 1, 2....
x

G(p)

P (X = x)= pqx ; x = 0, 1, 2....

N(µ, σ 2 )
N(0, 1)
G(α, λ)
χ2
n

−1
2
1
f(x) = √
e 2σ2 (x−µ) , x ∈ R
2πσ
1 −1 2
f(z) = √ e 2 z , z ∈ R
2π
λα α−1 −λx
x e ,x > 0
f (x) =
Γ(α) R
Γ(α) = 0∞ xα−1 e−x dx

f(x) =

1

n
Γ( n )2 2
2

n

x

x 2 −1 e− 2 , x > 0

Γ(α + β) α−1
x (1 − x)β−1 ; 0 < x < 1
Γ(α)Γ(β)

B(α, β)

f(x) =

tn

Γ( n+1 )
t2 n+1
f(t) = √ 2 n (1 + )−(2 ) ; t ∈ R
nπΓ( 2 )
n

Fn1,n2

g(f ) =

n +n
Γ(n1 + n2 ) n21 n22 n1 −2
−( 1 2 2 )
;f > 0
n1
n2 n1 n2 f 2 (n1 f + n2 )
Γ( )Γ( )
2
2
3

kq
p
q
p
µ
0
α
λ
n
α
α+β
0
n2
n2 − 2

III. INFERENCIA ESTADISTICA
INTERVALOS DE CONFIANZA
Intervalo de confianza para la media de una normal

Varianza conocida

(σ 2 )
0

Varianza desconocida

"

#

σ0
µ ∈ x ± √z1− α
2
n
"
#
S
−
µ ∈ x ± √ t1− α
n 2
−

Intervalo de confianza para la varianza de una normal

Media conocida (µ0 )

Media desconocida

P
n


(xi − µ0 )2

σ 2 ∈  i=1 2

χ

1− α ;n
2

n
P

, i=1

χ2 ;n
α
2





(n − 1)S 2 (n − 1)S 2 
σ2 ∈  2
,
χ1− α ;n−1
χ2 ;n−1
α
2



(xi − µ0 )2 



2

Intervalo de confianza para la diferencia demedias de dos poblaciones normales e independientes


−

−

−

−

µx − µy ∈ x − y ± z1− α
2

Varianza conocidas

"

s

Varianza desconocidas pero iguales (σ 2 ) µx − µy ∈ x − y ± t1− α ;nx +ny −2 Sp
2
v
u
2
2
u (nx − 1)Sx + (ny − 1)Sy
con Sp = t

nx + ny − 2

4



σx σy 
+
nx ny
s

1
1
+
nx ny

#

Intervalo de confianza para el cociente devarianzas de dos poblaciones normales e independientes

Medias conocidas

Medias desconocidas



ny
P³

´2

ny
P³

´2



yi − µy

σ 2  i=1 yi − µy nx
nx


y
i=1
α
∈P
F 2 ;nx ,ny , P
F1− α ;nx ,ny 
nx
nx
2
2


σx
(x − µ )2 ny
(x − µ )2 ny
σ2
y
∈
σ2
x

i
x
i=1
" 2
Sy F α ;nx −1,ny −1
2
,
2
Sx

i=1

2
Sy F1− α ;nx −1,ny −1
2
2
Sx...