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Continuidad en un intervalo
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
Continuidad en un intervalo cerrado
• f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto(a, b)
• f es continua en a por la derecha:
• f es continua en b por la izquierda:
Consecuencia
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.Estudiar la continuidad de en el intervalo [0, 4]
Ejemplo:
f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es continua en toda .
f(x) es continua por laderecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda .
Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el puntox = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.
f(2)= 4
Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].
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Teorema de Weierstrass
Si una función f(x) está definiday es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].
Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos:
El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.
Ejemplo:
es continua en el intervalo [-1,4]
Teorema de Bolzano
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y que toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c ∈(a, b) tal que f(c) = 0.
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-Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].
Ejemplo:
Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica.Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:
f(0) = -1 < 0
f(1) = 1 > 0
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c ∈(0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que...