Fourier

dosseg
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TRANSFORMADA DE FOURIER
En matemática, la transformada de Fourieres una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier.Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: lafísica, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de laseñal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:
.
Definición formal
Sea f una función Lebesgue integrable:
o
La transformada de Fourier de f es la función

Esta integral tiene sentido, pues elintegrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourierinversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.Propiedades básicas
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:
• Cambio de escala:

• Traslación:

• Traslación en la variable transformada:

• Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

• Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada deFourier F(f) es diferenciable

Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes.
En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define da la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables,la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.
Tabla de Transformadas básicas
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de , siendo frecuente en...