Fourier

Trabajo recopilado de la web

Cap¶ ³tulo 7 Series Funcionales. Series de Fourier.
Problemas resueltos
Salvador Vera Ballesteros www.satd.uma.es/matap/svera

7.1 7.2

Series de funciones series de potencias

De¯nici¶n 7.1 Se llama serie de potencia a la serie de funciones del tipo o
1 X n=0

an xn = a0 + a1x + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn + ¢ ¢ ¢

o del tipo
1 X n=0

an(x ¡ x0)n = a 0 +a1 (x ¡ x0) + a2(x ¡ x0 )2 + ¢ ¢ ¢ + an (x ¡ xn )n + ¢ ¢ ¢

donde los coe¯cientes a 0; a1; a 2; ¢ ¢ ¢ ; an; ¢ ¢ ¢ son constantes. Teorema 7.1 Para la convergencia de la serie de potencias caben las tres posibilidades siguientes 1
1 X n=0

an xn s¶lamente o

2

CAP¶ ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

1. La serie converge u nicamente en el punto x = 0 ¶ 2. La serieconverge en toda la recta real (¡1; 1) 3. La serie converge en un intervalo centrado en el origen (¡R; +R) y diverge fuera de ¶l. Pudiendo ser convergente o no en los extremos de e dicho intervalo. De¯nici¶n 7.2 Al intervalo donde converge la serie se le llama intervalo de o convergencia y a R radio de convergencia Teorema 7.2 El radio de convergencia de una serie de potencias puede calcularse porcualquiera de las dos f¶rmulas siguientes o R = lim
n!1

j an j j an+1 j

R = lim p n
n!1

1 j an j

Teorema 7.3 (Continuidad uniforme) La serie de potencias converge absolutamente y de manera uniforme en cualquier intervalo cerrado totalmente comprendido en el intervalo de convergencia [¡a; a] ½ (¡R; R) Teorema 7.4 1. La suma de la serie de potencias S(x) es continua en cada punto x de suintervalo de convergencia (¡R; R) 2. La serie de potencias puede derivarse e integrarse dentro del intervalo de convergencia,conserv¶ndose el radio de convergencia. a Ejemplo 7.1 Halla el campo de convergencia de la serie
1 X xn n! n=1

Soluci¶n: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el o radio de convergencia directamente. Tenemos an = de donde ¯ ¯ ¯ an ¯ (n + 1)! (n+ 1) ¢ n! ¯ R = lim ¯ lim = lim = lim (n + 1) = 1 ¯ an+1 ¯ = n!1 n! n!1 n!1 n!1 n! 1 n! an+1 = 1 (n + 1)!

Por consiguiente, el intervalo de convergencia es (¡1; 1), es decir, la serie converge en toda la recta real.

7.2. SERIES DE POTENCIAS Ejemplo 7.2 Halla el campo de convergencia de la serie
1 X n=1

3

n! xn

Soluci¶n: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente ocalcular el o radio de convergencia directamente. Tenemos an = n! de donde ¯ ¯ ¯ an ¯ n! n! 1 ¯ ¯ = lim R = lim ¯ lim lim ¯ n!1 (n + 1)! = n!1 (n + 1) ¢ n! = n!1 n + 1 = 0 n!1 an+1 Por consiguiente, la serie converge s¶lo en el punto x = 0. o Ejemplo 7.3 Halla el campo de convergencia de la serie
1 X (¡1)n¡1 n=1

an+1 = (n + 1)!

n ¢ 3n

(x + 1)n

Soluci¶n: Podemos elegir entre aplicar elcriterio del cociente o calcular el o radio de convergencia directamente. Tenemos an = de donde (¡1)n¡1 n ¢ 3n an+1 = (¡1)n (n + 1) ¢ 3n+1

¯ ¯ n+1 ¯ an ¯ 1 ¯ = lim (n + 1) ¢ 3 R = lim ¯ = lim 3(1 + ) = 3 ¯ an+1 ¯ n!1 n n!1 n!1 n¢ 3 n Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el intervalo j x + 1 j< 3, y eliminando el valor absoluto tenemos j x + 1 j< 3 ! ¡3 < x + 1 < 3 ! ¡4 < x < 2Tenemos que comprobar la convergencia de la serie en los extremos del intervalo Cuando x = ¡4, obtenemos la serie num¶rica e
1 X (¡1)n¡1 n=1

n ¢ 3n

(¡3) =

n

que es la serie armonica divergente. Cuando x = 2, obtenemos la serie num¶rica e
1 X (¡1) n¡1 n=1

1 X (¡1)n¡1 n=1

n

(¡1) =

n

1 X (¡1)2n¡1 n=1

n

1 X1 =¡ n n=1

n ¢ 3n

(3) =

n

1 X (¡1)n¡1 n=1

n

4CAP¶ ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

que es una serie alternada condicionalmente convergente. Por lo tanto el campo de convergencia de la serie es ¡4 < x · 2. Ejemplo 7.4 Halla el campo de convergencia de la serie 1 X (¡1)n (x + 1)n n n n=1 Soluci¶n: Podemos elegir entre aplicar el criterio de la raiz o calcular el o radio de convergencia directamente. Tenemos (¡1)n an =...