fracciones

Descomposici´
on en fracciones simples
Bruno Stonek - Junio 2010

Dados f y g polinomios consideramos su cociente fg que llamamos funci´on racional.
Queremos descomponerla en fracciones simples que sabemos integrar.
Si gr f ≥ gr g, entonces podemos simplificar el cociente
f por g, qued´andonos entonces

f
g

haciendo la divisi´on de

R(x)
f (x)
= Q(x) +
g(x)
g(x)
donde Q es un polinomio y R es unpolinomio de grado menor que g. Por lo tanto reducimos la descomposici´on en fracciones simples al caso fg donde gr f < gr g. Suponemos
entonces gr f < gr g.
Ahora factorizamos el denominador dej´andolo en su forma m´as reducida. Para descomponer fg en fracciones simples tenemos que distinguir en casos:
Primer caso: El denominador es producto de funciones lineales1 diferentes. Por ejemplo,
si esproducto de tres funciones lineales diferentes x − x1 , x − x2 , x − x3 donde
x1 , x2 , x3 ∈ R son constantes, debemos hacer
f (x)
A
B
C
=
+
+
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )
x − x1 x − x2 x − x 3
donde A, B, C ∈ R son constantes que debemos determinar. Para determinarlas,
hacemos denominador com´
un en la expresi´on de la derecha, y por igualdad de
polinomios nos queda un sistema de ecuacioneslineales. En este caso concreto queda
un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas (A, B y C). Resolviendo el sistema
hallamos A, B y C y la expresi´on en fracciones simples queda lista. Sabemos integrar
los sumandos mediante logaritmos. Un ejemplo:
A
B
C
x2 + 3x + 1
=
+
+
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
x−1 x+1 x+2
(A + B + C)x2 + (3A + B)x + 2A − 2B − C
=
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
Dado que los numeradores soniguales, es una igualdad entre polinomios
x2 + 3x + 1 = (A + B + C)x2 + (3A + B)x + 2A − 2B − C. Por lo tanto los
coeficientes de mismo grado deben ser iguales. Resolvemos el sistema:


5

 A+B+C =1
 A= 6
3A + B = 3
⇐⇒
B = 12



2A − 2B − C = 1
C = − 31
1

Una funci´
on lineal es un polinomio de grado 1.

1

Por lo tanto
x2 + 3x + 1
5
1
1
=
+
−
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
6(x − 1) 2(x + 1) 3(x+ 2)
y entonces el c´alculo de la integral queda
x2 + 3x + 1
5
1
1
dx = log |x − 1| + log |x + 1| − log |x + 2|
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
6
2
3
Segundo caso: El denominador es producto de funciones lineales al menos una de las
cuales se repite. Por ejemplo, si es producto de dos iguales con una tercera, debemos
hacer:
f (x)
A
B
C
=
+
+
2
2
(x − x1 ) (x − x2 )
x − x1 (x − x1 )
x − x2
An´alogamente alcaso anterior, hacemos denominador com´
un en la expresi´on de
la derecha y por igualdad de polinomios encontramos A, B y C y la expresi´on en
fracciones simples queda lista. Sabemos integrar los sumandos mediante logaritmos
p+1
y la expresi´on xp dx = xp+1 para p = −1.
Tercer caso: El denominador es producto de funciones lineales y al menos una funci´on
cuadr´atica2 ninguna de las cuales serepite. Se procede similarmente al primer caso,
s´olo que en los numeradores de los factores cuadr´aticos tenemos que poner una
funci´on lineal en vez de una constante. Por ejemplo:
(x −

1)(x2

f (x)
A
Bx + C
Cx + D
=
+ 2
+ 2
2
+ x + 1)(x + x + 2)
x−1 x +x+1 x +x+2

donde A, B, C, D ∈ R son constantes que debemos determinar. Para determinarlas,
hacemos denominador com´
un en la expresi´on de laderecha, y por igualdad de polinomios nos queda un sistema de ecuaciones lineales. En este caso concreto queda
un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro inc´ognitas (A, B, C y D). Resolviendo
el sistema hallamos A, B, C y D, y la expresi´on en fracciones simples queda lista. Puede haber una complicaci´on para hallar las integrales de los miembros cuyo
numerador tiene una funci´on lineal. A vecesconviene completar el cuadrado en el
denominador. Un ejemplo de c´alculo de integrales:
2
+x+1
dx
= log(x2 + x + 1) + 2
(x + 21 )2 + 34
4
2x + 1
√
= log(x2 + x + 1) + √ arctan
3
3
La primera igualdad es una astucia que resulta de observar que el numerador es
casi la derivada del denominador, por lo tanto partimos en dos integrales, y en la
primera efectivamente el numerador es la derivada del...