Frege Eta Russelen Proiektu Logizista

Proiektu logizista (Frege eta Russel)
Intuizionismo eta formalismoaren arteko eztabaida

* LOGIZISMOA (Frege eta Russel)
Frege eta Russelen gisako logizisten helburua argia da hasiera hasieratik; matematika ziur eta argi bat lortu nahi da, horretarako ustezko eremu argiago batera eramanez, logikara hain zuzen ere. Matematika, horrela, logikara murrizgarri izango bailitzan irudikatzen dute,bi eremuen arteko ekibalentzia bat sustatu nahian.
* FREGEREN PROIEKTU LOGIZISTA
Fregerentzako, aritmetika analitikoa da, hau da, logika eta definizioen lege jeneraletatik deribatu daiteke. Horrela, bere proiektua bi zatitan banatu egiten du:
1. Hiztegi aritmetikoarekiko analogoa den hiztegi logikoa lortu, horrela bien arteko berdinketak gauzatu ahal izateko (0, 1 eta “hurrengo terminoa”izendatzeko beharrezko proposizioak definitzen ditu).
2. Estruktura aritmetiko osoa logikarekin alderatu beharrean, aritmetikaren axiomak logikaren eremuko egia logikoetara itzultzea, horrela matematikan ontzat dauden oinarri ziurrak logikara eramanez.
Lehenengo pausuari errepara diezaiogun. Fregeren pentsamenduan, munduan objektuak eta kontzeptuak daude ezberdindurik. Aulki bat seinalatzenbaldin badugu, objektua dela esango luke Fregek. “Aulkia izan” ordea, kontzeptu bat da, zeini ezaugarri jakin batzuk atxikitzen dizkiogun.
Zera mantentzen du Fregek, ordea: kontzeptuak multzoetan zatigarriak direla. Aritmetikaren hizkuntza esparru logikora eramatean, horrela, multzoetan eta haien arteko operazioetan bihurtu egiten dira. 0, 1 eta horrelako nozioak, beraz, multzoak dira azkenbatean Fregerentzat, eta zenbakien arteko operazioak dauden moduan, multzoen artean operazioak egin daitezke (batak bestea hartu, azpimultzoak sortu eta abar).
Nolabait esanda, Fregek Cantorren multzoen teoria erabili egiten du bere aritmetika eta logikaren arteko analogia gauzatzeko. Fregek, ordea, ez du multzo terminoa erabiltzen, baizik eta klase edo hedadurarena. Multzoa komunean daukatenezaugarri bati jarraiki batu egiten diren elementu batzuk diren bitartean, klasea multzo bat definitu dezakeen hori da, funtzio proposizional bat, zeini jarraiki multzoak sortzen diren. Beraz, klase gehiago egongo dira multzoak baino.
Honek, ordea, Fregeri egin zaion kritika bati ematen dio leku. Multzoen teoria aritmetikaren itzulpen logiko bezala aurkeztu egiten du, baino gogoratu beharra dagonondik datorren teoria hori; Cantorren ekarpen matematikotik. Aritmetika logikara erreduzitzeko prozesuan beraz, matematika du abiapuntu Fregek.
Baina bueltatu gaitezen bere proiektuaren garapenera. Fregek multzoak aritmetikaren baliokide bezala aurkezten dituen heinean, haien definizio bat eta haien artean nola lotzen diren definitu nahi du. Horretarako axioma batzuk ezarri egiten ditu, zeinenartean bosgarrenak erakutsiko dion Russeli nolatan Fregeren teoriak hutsuneren bat daukan: (AX.5) [F]=[G] baldin eta bakarrik baldin ∀x (Fx↔Gx)
* RUSSELEN PARADOXA
Fregeren multzoen axiomei jarraiki multzoen arteko erlazioak (aritmetikan operazioak izango zirena alegia) posible ziren, baina zerataz ohartu zen Russel: bosgarren axioma hori jarraiki, paradoxa batera heltzen zela Fregeren sistema.Paradoxa honi, honako hau da:
Imajina dezagun multzo bat, non ezaugarri komuna zera den: bere baitan ez izatea, bere buruaren elementu ez izatea. Z multzo horren parte da. Beraz, eta multzo horren ezaugarriei jarraiki, “Z = ¬Z”. Baina, “Z = bere baitan ez dena” onartu egiten baldin badugu, Z = Z. Hortxe hor paradoxa. Bizarginaren adibidearekin ere irudikatu daiteke. Herri batean, non gizon guztiekbizarra moztuta eraman beharra daukaten, bizarginak moztu egiten die bizarra bere buruari mozten ez dioten horiei. Bizarginari orduan, zeinek moztu egiten dio?

* RUSSELEN TIPOEN TEORIA
Russelen erantzuna, proiektu logizista salbatu nahian, zera izan zen: multzoak ezin direla linealak izan. Bere tipoen teoriari jarraiki, kontzeptuak 3 mota ezberdinekoak izan daitezke:
* 0 tipoko...