función logarítmica

Funci´n exponencial
o
y logar´
ıtmica

Profesor Coordinador: H´ctor Aguilera.
e

Santiago, 2014.

Terminolog´ para la funci´n exponencial y logar´
ıa
o
ıtmica
=
∈
<
>
≤
≥

Distinto.
Pertenece.
Menor que.
Mayor que.
Menor o igual que.
Mayor o igual que.

1

Funci´n exponencial y logar´
o
ıtmica

Funci´n Exponencial
o
Definici´n. Si a ∈ R, con a > 0 y a= 1, se define la funci´n exponencial como:
o
o
y = f (x) = ax
Donde x ∈ R.
Observaci´n. La funci´n exponencial es una funci´n f : R → R+ .
o
o
o
Observaci´n. Es importante que esta funci´n no se confunda con la funci´n f (x) = xa cuya
o
o
o
a
base es x que asocia a cada n´ mero real a, un n´ mero real x . El comportamiento de estas
u
u
funciones es muy distinto. Para ejemplificaresto, tomamos el valor a = 3 y tabulando ambas
funciones, tenemos:
x
f (x) = x3
f (x) = 3x

-3
-2
-1
0 1
-27
-8
-1
0 1
0.037 0.111 0.333 1 3

2 3 4
8 27 64
9 27 81

5
6
125 216
243 729

Como puede apreciarse, la diferencia de valores es considerable, ya que en la primera funci´n
o
s´lo se calcula el cubo del n´ mero y en la segunda se comporta de forma exponencial.
o
uEjemplos.
Al graficar la funci´n y = 3x , obtenemos:
o

2

x
f (x) = 3x

Al graficar la funci´n y =
o

1
7

-3
-2
-1
0 1 2
0.037 0.111 0.333 1 3 9

3
27

x

, obtenemos:

x
f (x) = (1/7)x

-3 -2 -1 0
1
2
3
343 49 7 1 0.1428 0.0204 0.0029

Al graficar la funci´n y = 2,7x , obtenemos:
o

x
f (x) = 2,7x

-3
-2
-1
0 1
2
3
0.0508 0.1371 0.3703 1 2.7 7.2919.683
3

Al graficar la funci´n y =
o

1
4

x

x
f (x) = (1/7)x

, obtenemos:

-3 -2 -1 0
1
2
3
64 16 4 1 0.25 0.0625 0.0015625

De acuerdo a lo anterior, podemos concluir:
El dominio de la funci´n exponencial son todos los n´ meros reales.
o
u
El rango o recorrido de la funci´n exponencial es el conjunto de todos los n´ meros reales
o
u
positivos.
No intercepta conel eje X, siempre intercepta al eje Y en el punto (0, 1) y pasa por el
punto (1, a).
Siempre es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1.
La funci´n crece m´s r´pido si la base es cada vez mayor y decrece m´s r´pido si la base
o
a a
a a
es cada vez menor.
Observaci´n. Es importante mencionar que se pueden modificar los par´metros de la funci´n
o
a
o
exponencial. Esto es, se puedenpresentar variaciones de la forma:
f (x) = k · ax

;

f (x) = ak·x

;

f (x) = ak+x

;

f (x) = ax + k

;

etc.

Ejemplo. Seg´ n informaci´n entregada por el INE (Instituto Nacional de Estad´
u
o
ıstica de Chile),
la poblaci´n en nuestro pa´ en 1960 era de 7.643.277 habitantes, y en 1970, de 9.569.631
o
ıs
habitantes. S´lo con estos datos, se podr´ estimar la cantidad dehabitantes en Chile para el
o
ıa
a˜ o 2000.
n
El crecimiento poblacional, ya sea de insectos, bacterias o seres humanos, lo podemos modelar
como:
4

P (t) = P0 · ert
donde P (t) es la poblaci´n en un tiempo t, P0 es la poblaci´n cuando t = 0 (a˜ o 1960) y r es
o
o
n
la constante relacionada con la tasa de crecimiento en porcentaje anual.
Soluci´n. Como transcurrieron 10 a˜ os (t)entre las dos mediciones, podemos conocer el vao
n
lor de r resolviendo la ecuaci´n:
o
=

7.643.277 ·e10r

=

9.569.631

↔

e10r

=

9.569.631
7.643.277

↔

10r

=

ln

↔

P (10)

r

=

0,02247682

9.569.631
7.643.277

Luego, la proyecci´n estimada de la poblaci´n para el a˜ o 2000 es:
o
o
n
P (30) = 7.643.277 · e0,02247682 · 30
P (30) = 15.001.213habitantes, lo cual es bastante cercano a la poblaci´n real que existi´ en
o
o
Chile en el a˜ o 2002.
n

Funci´n Logar´
o
ıtmica
Como ya hemos visto anteriormente, la inversa de un funci´n exponencial y = ax con a > 0
o
y a = 1, se obtiene intercambiando la y por x y viceversa, quedando as´ x = ay .
ı
Despejando la variable y se obtiene y = loga x.
Definici´n. Si a ∈ R, con a > 1 y a =...