Funcion Cuadratica

Función cuadrática
Definición: Una función cuadrática es una función f : R → R definida por la fórmula
f(x)=ax^2+bx+c
Donde a,b y c son números reales y a≠0. Esta expresión de la función cuadrática es llamada forma polinómica.
El término a se llama “coeficiente cuadrático”
El término b se llama “coeficiente lineal”
El término c se llama “término independiente”
Problema 1: Indicar el valordel coeficiente cuadrático, lineal y término independiente en cada caso.
f(x)=x^2+x+1 f(x)=3x^3-4x^2
f(x)=x^2-3 f(x)=1/2 x^2+x+1/2
La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola. Sus dos ramas son simétricas respecto de una recta. Esta recta se llama eje de simetría.
Se llama vértice al único puntode intersección de la parábola con su eje de simetría.
Problema 2: Representar gráficamente la siguiente función f(x)=x^2-4x+3
En dicha representación gráfica marcar el eje de simetría con color, marcar el vértice con color.

Problema 3: Representar gráficamente las siguientes funciones. Observar el comportamiento de la función teniendo en cuenta los valores del término cuadrático en cadaecuación.
f(x)=〖3x〗^2 g(x)=x^2 h(x)=〖1/2 x〗^2 j(x)=〖3/4 x〗^2
¿Qué valores tienen los términos lineales y cuadráticos en cada caso?

Problema 4: Representar gráficamente las siguientes funciones. Observar el comportamiento de la función teniendo en cuenta los valores del término cuadrático en cada ecuación.
f(x)=〖2x〗^2g(x)=-x^2 h(x)=-〖1/2 x〗^2 j(x)=x^2

Problema 5: En cada caso indicar según el gráfico si el término cuadrático es mayor o menor que cero.

RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Cuando graficamos una función cuadrática como vimos puede ocurrir que la parábola tenga contacto con el eje x en: un punto, dos puntos o ningún punto.
A las abscisas de lospuntos de contacto, puntos donde la gráfica corta al eje horizontal, se las denomina raíces reales o ceros de la función. Si la función no tiene contacto con el eje x la función no tiene raíces reales.



Para hallar las raíces de una función, hay que determinar los puntos cuya ordenada sea igual a cero. Para ello se plantea f(x)=0.
De esta manera se estaráplanteando una ecuación cuadrática, es decir que la podremos expresar de la siguiente forma:
ax^2+bx+c=0, como ya vimos anteriormente a≠0
A la ecuación también se la llama “ecuación de segundo grado”.

Para determinar las soluciones es posible aplicar la “fórmula resolvente”
Las soluciones x_1 y x_2 de una ecuación de la forma ax^2+bx+c=0 con (a≠0) puede obtenerse reemplazando los coeficientes a,by c en la fórmula resolvente:

x_1=(-b+√(b^2-4ac))/2a y x_2=(-b-√(b^2-4ac))/2a

Para abreviar todo la escritura, se utiliza la expresión:

x_1,2=(-b±√(b^2-4ac))/2a

Nota: cuando la ecuación no sea de la forma ax^2+bx+c=0, se resolverán todas las operaciones indicadas hasta reducirla a esa expresión.

Ejemplo: Determinarlas raíces de la función f(x)=3x^2-2x-1, para ello estamos buscando los valores donde la función es igual a cero, es decir:
3x^2-2x-1=0
Indicamos los coeficientes cuadrático, lineal, y término independiente:
a=____ b=____ c=____
Ahora reemplazando en la fórmula resolvente obtenemos la solución a laecuación planteada:

x_1,2=(-(___)±√(〖(___)〗^2-4.(_(___)).(___)))/(2(___))

FORMAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Recuerda que la función cuadrática se puede expresar de 3 formas distintas a saber:

Polinómica Canónica Factorizada
f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a(x-x_v )^2+y_v f(x)=a.(x-x_1 ).(x-x_2 )

Siendo:
a El coeficiente cuadrático
x_v;y_v Las coordenadas del vértice de la parábola V=(x_v;y_v )....