funcion cuadratica

Función Cuadrática

FUNCIÓN CUADRÁTICA
Diremos que una función f es una función polinómica si existen números reales a0, a1,
a2,......an tales que:
n
n-1
2
f(x) = anx + an-1x + . . . . . + a2x + a1x + a0
6

4

3

Ejemplo: f(x) = 5 x + 137 x – x + 8

es f : R→R cuyo grado es 6.

Vamos a estudiar ahora la función de grado 2.
Definición: a la función polinómica de grado 2 se ladenomina función cuadrática
La expresión general de la función cuadrática es:

f(x) = a.x2 + b.x + c
Donde a , b y c son números reales siendo a ≠ 0
Su dominio es el conjunto R porque es el conjunto más amplio para el cual la fórmula tiene
sentido.
Su gráfica es una parábola.
Los términos reciben estos nombres :
término lineal

y = a.x2 + b.x + c
término cuadrático

términoindependiente

A esta forma de expresar las función cuadrática se la llama polinómica.
Si le damos diferentes valores a los coeficientes a , b y c obtenemos las fórmulas de
distintas funciones cuadráticas.
Por ejemplo:
2

f(x) = 2 x + x – 6

;

2

h(t) = 80 t – 5 t

;

2

g(x) = -x + 7

;

2

s(t) = 2 t + t –3

LA FUNCIÓN y = x2
Consideremos primero la función f(x) = x siendo f: R → R U { 0 }.
Su gráfico es:
2

+

y

f(x) = x2

4

1
(0,0)

1

2

x

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Función Cuadrática
Los gráficos de las funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En
este caso es el eje y.
El punto en el que la parábola corta el eje de simetría se llama vértice. En este casoel
punto de coordenadas ( 0,0).
Como cualquier valor de x ( positivo o negativo) elevado al cuadrado da por resultado un
+
número positivo o cero , éste conjunto será la imagen. I(f) = R U { 0 }.

LA FUNCIÓN y = ax2
Veremos ahora cómo modifica el trazado de la curva el n° real a. Observen los gráficos
siguientes donde a toma valores distintos de 1.

y

con a > 0
g

f

f = x2

hg = 2 x2
h = ½ x2
x
En este caso, si a es positivo las parábolas tienen sus ramas dirigidas hacia arriba y
además con distinta abertura.

y

con a < 0

x

f = - x2

h

g = -2 x2

f
g

h = - ½ x2

Cuando a es negativo, las ramas de la parábola están dirigidas hacia abajo y tienen
diferente abertura.

☺ CONCLUSIÓN:
El signo de a indica hacia dónde se dirigen las ramas.El valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas.

Forma Canónica
La fórmula de la función cuadrática también puede expresarse en forma canónica, que es la
siguiente:
2

y = a (x – h) + k
donde :
a es el término cuadrático ,
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99

Función Cuadrática
(h ; k ) son las coordenadas del vértice, y
x= h es la recta de simetría de la parábola
Si queremos relacionar esta expresión con la forma polinómica, basta con desarrollar las
operaciones indicadas en la forma canónica e igualar término a término de la siguiente
manera:
2

2

a (x – h) + k = a.x + b.x + c
2
2
2
a ( x – 2hx + h ) + k = a.x + b.x +
2
2
2
ax – 2ahx +a h + k = ax + bx + c
2
2
⇒
a = a
ax = ax
– 2ahx = bx ⇒– 2ah = b ⇒
2

ah + k

= c

c

h = - b / 2a

2

⇒ k = c - ah ⇒

k = c – a( - b / 2a)

2

⇒

k = c – b2/4a

Ejemplo :
2

Conociendo la función f(x) = 2x –6x + 2 hallar su expresión canónica.
2

2

2

ax – 2ahx + ah + k = 2x –6x + 2
a=2

( − 6) 3
=
2 .2 2
(−6) 2
36
5
= 2−
=−
k= 2−
4.2
8
2
h=

−

2

3
5

f(x) = 2 x −  −


2
2
Entonces la expresión queda :

Esta función tiene el vértice en el punto V =

3 5
 ;− 
2 2



Y el eje de simetría es la recta x = 3/2
Ahora grafiquémosla: ……

y

x=3/2
3/2

x

-5/2
V= (3/2, -5/2)

Desplazamientos de la función cuadrática
Si analizamos la forma canónica de la función, donde figuran como dato importante las
coordenadas del vértice, podremos ver si...