funcion homogenea

 Función homogénea 
Es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de lafunción resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea. Supongamos una función cuya definición es  entre dosespacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Entonces se dice que  es homogénea de grado k si:


Como se escribe una función diferencial
La ecuación diferencial M(x, y) dx + N (x, y) dy  = 0 es homogénea sí M y N son funciones homogéneas del mismo grado, o también si la ecuación puede escribirse como:  
Sea la función  Z = ƒ(x, y), se dice que es homogénea de grado "n" si se  verifica que f(tx, ty) = tⁿ f( x, y) ; siendo "n"  un número real. En muchos casos se puede  identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de cada término:
f( x ,y) = x² y² + 5x³ y -y 4, aplicando la definición se tiene:
      f( tx,  ty) =  (tx)²  ( ty)²  + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4        
      f( tx,  ty) =  t4  x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4
      f(tx, ty ) = t4 (x2 y2  + 5x3 y - y4 )       f( tx,  ty) =  t4   f ( x, y)   
 Por lo tanto la función es homogénea de grado
Como se calcula el grado de homogeneidad de una función de ejemplos con ejercicios
   
  




Vistode otra manera ƒ (x, y) = x³ + y³, ambos términos de la ecuación son de grado 3 por lo tanto ƒ(x, y) es homogénea de grado 3

1. Sea N = xy2 =  g(x,y)  
entonces:
     g ( tx, ty) = - (tx) (ty)²     g ( tx, ty) =  - t x t² y²
     g ( tx, ty) =   -t ³ x y ²
     g ( tx, ty) = t³ (- x y ²)
     g ( tx, ty) = t³  g (x, y )
Por lo tanto "N" es homogénea de grado 3
        
2. Diga si lafunción dada es homogénea y cuál es el grado de homogeneidad.
z = f(x,y) = x 2 + xy − y2
f(λx, λy ) = (λx)2 + (λx)(λy) − (λy)2 = λ2 x2 + λ2xy − λ2 y2 = λ2(x2 + xy − y2)
f(λx, λy) = λ2f(x,y)...