Funcion Ramificada

Función Ramificada
Es aquella que sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio.
Ejemplo:

Respuesta:
Observemos que el dominio de esta función está dividido, y el punto de división es x = 1.

Teorema de la función inversa

En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona lascondiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto. Técnicamente es un teorema de existencia local de la función inversa. El teorema puede enunciarse para aplicaciones en Rn o se puede generalizar a variedades diferenciables o espacios de Banach.

Enunciado del Teorema
La versión en del teorema es la siguiente:Sea una función C1. Supongamos que para , la diferencial es invertible y que . Entonces existen abiertos tales que , y es una función biyectiva por lo que la inversa de es C1 y por lo tanto .
Existe una versión del teorema en espacios de Banach, que es una generalización de lo anterior. Sin embargo, la versión presentada es la que se presenta frecuentemente en la literatura puesto que sucomprensión es más fácil. La demostración del teorema no es sencilla, puede consultarse en las referencias puesto que entre se requiere aplicar el teorema del punto fijo de Banach y la norma matricial además de otros resultados del análisis matemático que se obtienen de la caracterización de la convexidad.
Ejemplo
Consideremos la función F de R2 en R2 definida por

Su matriz jacobiana es

y sudeterminante

Como el determinante e2x es no nulo en todo punto, aplicando el teorema, para cada punto p de R2, existe un entorno de p en que F es invertible.
Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la función:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }
y observemos qué pasa llamando g alconjunto resultante:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }
Hemos obtenido una nueva función.
Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }
y, entonces, g será:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }
que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no cumple la condición de función.Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.
¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valoresdiferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.
DEFINICIÓN: Una función f es inyectiva o uno a uno si f(a) es distinto de f(b) cuando a es distinto de b.
Cuando al invertir los pares de que consta una función se obtiene otra función, decimos que dicha función tiene inversa (también llamada recíproca). Por lo dichoanteriormente, sólo tienen inversas las funciones inyectivas.
DEFINICIÓN: Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y la representamos por f-1 al conjunto:
f-1 = { (a, b) / (b, a) Î f }
Es decir, f-1 = { (x, y) / x=f(y), si y es del dominio de f } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f }
De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la función inversa f-1 es elrango de f y, recíprocamente, el rango de f-1 es el dominio de f. También es fácil observar que f-1(a)=b es equivalente a decir que f(b)=a. Utilizando la "x" y la "y" que tan acostumbrado estamos a usarlas cuando se habla de funciones: f-1(x)=y es equivalente a decir que f(y)=x. Otra forma de decir esto es: f(f-1(x))=x (donde x pertenece al rango de f), o bien, f-1(f(x))=x (donde x pertenece al...