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Ejercicios Resueltos
Page 1 of 26

Cap´tulo I
ı
Funciones

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PROBLEMA 1:

Contents

Considere las funciones f (x) =

√

x+2

y

g(x) = x2 − 1

encontrar los valores de x, para los cuales

(f ◦ g)(x) = (g ◦f )(x)
Soluci´ n:
o
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√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 1) = x2 − 1
√
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g( x + 2) = (x + 2) − 1 = x + 1
√
por lo tanto: x2 − 1 = x+1 ⇐⇒ x2 +1 = x2 +2x+1 ⇐⇒
2x = 0 ⇐⇒ x = 0

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PROBLEMA 2:

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Encontrar la funci´ n inversade f (x) =
o

1−

1
x

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¿ coincide el dominio de f con el de f −1 ?
Soluci´ n:
o

1
1
1
=⇒ y 2 = 1 − =⇒ = 1 − y 2 =⇒ x =
x
x
x
1
por lo tanto f −1 (x) =
1 − x2

Sea y =
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1
1 − y2

1−

El dominio de f es: Df = {x ∈ IR | 1 −

(−∞, 0) ∪ [1, ∞)
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1
x

≥ 0} =

El dominio de f −1 es: Df −1 = {x ∈ IR| x2 = 1} =
IR − {−1, 1}
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PROBLEMA 3:
Considere la funci´ n:
o

Contents

f (x) =

x2 si x ≤ 0
1
si x > 0
x2

Hallar su dominio y rango, as´ como el de su inversa.
ı
Soluci´ n:
o
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El dominio de f son todos los n´ meros reales, y su rango
u
es [0, ∞).
En elintervalo (−∞, 0), no tiene inversa, pero la funci´ n
o
restringida al intervalo [0, ∞) tiene como inversa:

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f −1(x) =
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0
1
√
x

si x = 0
si x > 0

Tanto el dominio como el rango de f −1 es [0, ∞).
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PROBLEMA 4:
Una determinada cooperativa hacalculado que su cosecha
anual de manzanas es de 100 000 kg, que piensa vender a raz´ n
o
de 7.00 pesos/kg. Cada semana que transcurre se estropean 2 000
kg de manzanas, y para compensar la p´ rdida, los miembros de
e
la cooperativa aumentan en 1.40 pesos el precio del kilogramo
por cada semana que pasa. Escribir la funci´ n que determina el
o
valor de las manzanas, dependiendo de lassemanas transcurridas.
Soluci´ n:
o

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Si transcurren x semanas, el n´ mero de manzanas que hay
u
es 100000-2000x, y el kilo cuesta 7.00 + 1.4x pesos, luego el
precio total de las manzanas es:
f(x)=(100000-2000x)(7.00 + 1.4 x ) pesos.

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PROBLEMA 5:
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Hallar eldominio y rango de las siguientes funciones:
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a) f (x) =

1
x2 + 1

Soluci´ n:
o

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x2 + 1 = 0 para toda x ∈ IR, por lo tanto el dominio
de f es todo IR, y como x2 + 1 ≥ 1 el rango es (0, 1].
b) g(x) =

√

x2 − 4

Soluci´ n:
o

g tiene sentido si x2 − 4 ≥ 0, ⇐⇒ x2 ≥ 4 =⇒
Dg = (−∞, −2] ∪ [2, ∞), y su rango es [0, ∞).Quit

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PROBLEMA 6:
Considerar las funciones f (x) =
encontrar:

√

x + 1 y g(x) = x2 − 1,

a) El dominio de f

d) (f g)(x)

b) El dominio de g

e) (f ◦ g)(x)

c) (f + g)(x)

f) (g ◦ f )(x)

Soluci´ n:
o
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Para f : Dominio [−1, ∞), rango: [0, ∞).Para g : Dominio (−∞, ∞), rango: [−1, ∞).

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(f√ g)(x) =
+
1) x + 1.

√

x + 1 + x2 − 1, (f · g)(x) = (x2 +

√

(f ◦ g)(x) =
x2 − 1 + 1 = |x|, g ◦ f )(x) =
√
( x + 1)2 − 1 = x.
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PROBLEMA 7:
Encontrar el dominio, rango, periodo y ceros y = |senx|....