funciones elementales

Apéndice A
Repaso de funciones elementales
Esta apéndice es una adaptación del capítulo 3 de [GG] y es un repaso de las
funciones elementales y algunas de sus propiedades.

A.1

Funciones potencia, polinómica y racional

A.1.1 Función potencia
La función potencia es la función f (x) = xn , donde n ∈ N ∪ {0}.


R
si n es impar,

Im(f ) = R+ ∪ {0} si n es par y n > 0,


{1}si n = 0.

dom(f ) = R,

8

4

6
4

3

2
2

–2
–2

x 2

–4

1

–6
–2

–1

0

1
x

–8

2

Figura A.1: Grácas de x2 y x3

183

184

APÉNDICE A. REPASO DE FUNCIONES ELEMENTALES

A.1.2 Polinomios
Un polinomio real de grado n es una función de la forma

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
con n ∈ N ∪ {0},

∀i = 0 · · · n, ai ∈ R y an =0.

dom(f ) = R y Im(f ) = depende de an y n.
Una recta f (x) = ax + b es un polinomio de grado 1 y una parábola
f (x) = ax2 + bx + c es un polinomio de grado 2.

A.1.3 Funciones racionales
Una función racional es el cociente de dos polinomios reales P (x) y Q(x):
P (x)
f (x) =
.
Q(x)
dom(f ) = R menos las raíces reales de Q(x) y
la Im(f ) no se puede determinar a priori.
Lasfunciones del tipo f (x) = xn , con n ∈ N− son funciones racionales
1
con P (x) = 1 y Q(x) = x−n . Por ejemplo, f (x) = x−3 = x3 .

A.1.4 Descomposición en fracciones simples
El teorema fundamental del álgebra dice que un polinomio con coecientes complejos de grado n tiene n raíces en el cuerpo de los números complejos
(otra forma de enunciarlo es decir que el cuerpo de los números complejos esalgebraicamente cerrado).
En particular, un polinomio real f (x) de grado n tiene n raíces en el
cuerpo de los números complejos.
Esta propiedad nos permite descomponer una función racional f (x) =
P (x)
en una suma de fracciones más simples. Estas descomposiciones faciQ(x)
litan, por ejemplo, el cálculo de integrales de funciones racionales.
Si P (x) y Q(x) tienen una (o más) raíz a encomún, entonces existen dos
polinomio P1 (x) y Q1 (x) tales que P (x) = (x−a)P1 (x) y Q(x) = (x−a)Q1 (x).
P1 (x)
.
En este caso podemos simplicar la función f (x) como
Q1 (x)

A.1. FUNCIONES POTENCIA, POLINÓMICA Y RACIONAL

185

Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la función
P (x)
es tal que P (x) y Q(x) no tienen raíces comunes, es
racional f (x) =
Q(x)
decir,son primos entre si.

Ejemplo A.1.1 Sea
f (x) =

3(x − 1 )(x − 2)(x − 1) (x=2) 3(x − 1 )(x − 1)
3x3 − 10x2 + 9x − 2
3
3
=
=
2x2 − 2x − 4
2(x − 2)(x + 1)
2(x + 1)

Si el grado de P (x) es mayor o igual que el grado de Q(x), existen dos
polinomios A(x) y R(x) (que se obtienen dividiendo P (x) por Q(x)) tales
que:

f (x) =

P (x)
R(x)
= A(x) +
Q(x)
Q(x)

con

grado(R(x))
Ejemplo A.1.2 En el ejemplo anterior, si x = 2,
1
3(x − 3 )(x − 1)
3x2 − 4x + 1
3
7
4
f (x) =
=
=( x− )+
.
2(x + 1)
2x + 2
2
2
x+1

Podemos entonces limitarnos a considerar funciones racionales f (x) =
P (x)
tales que P (x) y Q(x) son primos entre si, grado(P (x)) < grado(Q(x))
Q(x)
y Q(x) tiene coeciente de grado máximo igual a 1.
Sea Q(x) de grado n y seana1 , a2 , · · · , an sus raíces complejas.
Vamos a ilustrar los posibles casos por medio de ejemplos:

Caso 1: a1 , a2 , · · · , an son todas reales y distintas.
x
x
=
.
− 3x + 2
(x − 1)(x − 2)
En este caso determinamos dos constantes A y B tales que
f (x) =

f (x) =

x2

A
B
(A + B)x − (2A + B)
x
=
+
=
.
(x − 1)(x − 2)
x−1 x−2
(x − 1)(x − 2)

Entonces tiene que ser x= (A + B)x − (2A + B), es decir

A+B =1
2A + B = 0,

A = −1
B = −2A = 2.

186

APÉNDICE A. REPASO DE FUNCIONES ELEMENTALES

1
2
+
.
x−1 x−2
Caso 2: a1 , a2 , · · · , an son todas reales pero hay algunas con multiplicidad mayor que 1.
Por tanto, f (x) = −

f (x) =

x
.
(x − 1)3

En este caso determinamos tres constantes A, B y C tales que

f (x) =

C
Ax2 + (−2A +...

Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.