Funciones reales

FUNCIONES El plano  2 Si a, b ∈  , (a, b) es un par ordenado de números reales. Siendo también c, d ∈  , es (a, b) = (c, d ) , si y solo si a c= d . = , b Por tanto (a, b) = (b, a ) , solo si a = b . Por esta razón los llamamos pares ordenados. El conjunto de todos los pares ordenados de números reales lo escribimos  ×  o  2 .
 2 =  ×  = {( x, y ) x ∈ , y ∈ }

El número a es laabscisa del par ordenado (a, b) ; su ordenada es b . Ambos, a y b , son las componentes o coordenadas de (a, b) . El conjunto  2 se representa geométricamente mediante un plano en el que se han “dibujado” dos rectas perpendiculares entre sí (ejes: horizontal o eje X y vertical o Y ), a las que se considera rectas reales tras asignar, en las dos rectas, 0 al punto de corte y 1 a un punto determinadoen cada recta, usando en ambas la misma unidad de medida. Hecho esto, dado un punto P del plano, se trazan paralelas por dicho punto a los ejes. Si a es el número real que corresponde, en el eje horizontal, al punto de corte de dicho eje y la paralela vertical, y b es el número que corresponde, en el eje vertical, al punto de corte de dicho eje y la paralela horizontal, se hace corresponder (a, b)∈  2 a P . Recíprocamente, partiendo de (a, b) ∈  2 , se marca en el eje horizontal el punto asociado al número real a , y en el eje vertical el punto asociado a b . El punto donde las paralelas a los ejes, por estos puntos así marcados, se cortan es el punto P que corresponde a (a, b). Establecida esta correspondencia biunívoca entre plano y conjunto  2 , diremos que  2 es el plano real.Distancia en  2 : Dados (a, b) y (a´, b´) elementos de  2 , teniendo en cuenta su representación gráfica y usando el teorema de Pitágoras, es obligado definir la distancia, d = d ((a, b), (a´, b´)) , entre ambos puntos, o pares ordenados, de modo que:
d 2 = a´−a + b´−b = (a´−a ) 2 + (b´−b) 2
2 2

Luego d =

(a´−a ) 2 + (b´−b) 2

1

b´

(a´,b´)

d a b (a,b) a´

Si (a, b) es un puntodel plano  2 y es r > 0 , todos los puntos del plano,  2 , que están a distancia fija r del punto (a, b) forman la circunferencia de centro (a, b) y radio r . Esta circunferencia corresponde al conjunto:

{( x, y) ∈ 

2

d (( x, y ), (a, b)) = r} = ( x, y ) ∈  2 ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2

{

}

Por ello diremos que ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = es la ecuación de la circunferencia der2 centro (a, b) y radio r .

Funciones reales de una variable real. Una magnitud o “variable” y es función de otras magnitudes variables x1 , x2 ,...., xn , cuando cada combinación concreta de valores de estas últimas determina un valor único de y . Esta situación se expresa escribiendo y = f ( x1 , x2 ,...., xn ) Entonces y es la variable dependiente, siendo x1 , x2 ,...., xn las variablesindependientes. El caso más sencillo es, por supuesto, cuando la variable y depende (es función) de una sola variable x , y por tanto y = f ( x) . Diremos que y es función de una variable. En este curso vamos a estudiar funciones de una variable, en las que toman, tanto la variable dependiente y como la independiente x , valores numéricos reales. Sea D ⊂  el conjunto de los valores posibles de x .Si disponemos de una regla que, a cada valor de x ∈ D , hace corresponder un único número real, valor de y , tendremos definida en D una función real de una variable real que vamos a llamar, por ejemplo,
f : escribimos entonces y = f ( x ) .

2

La regla que asocia, a cada valor de la variable independiente, el número real correspondiente puede estar dada por una tabla (con dos columnas devalores), un gráfico, una “fórmula matemática”, etc. Vamos a escribir f : D →  para designar una función real definida en D ⊂  .
D es entonces el dominio de f : D = Dom f .

Dado un valor de x , su asociado y = f ( x ) se llama imagen de x por f . El conjunto de imágenes (valores que alcanza y ) es el rango de f : Ran f = y = f ( x) ∈  x ∈ D} . { Ejemplo:
f : [ 0,1] →  x → x3

es la...