Funciones reales

Funciones Reales

1

1 CONCEPTOS BASICOS
1.1 FUNCION Definición 1.1 Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, en los cuales se define una relación de A en B. Decimos que esa relación es una función, si y sólo si , todo elemento de A se relaciona con un único elemento en B. En otras palabras, para que una relación entre los conjuntos A y B sea una función, es necesario que por medio de ella“todo elemento del conjunto A esté asociado con un único elemento del conjunto B”. La función f de A en B se denota por f : A→ B Una relación de A en B puede no ser función, los siguientes gráficos ilustran esta situación.

A • • • •

f

B • • • •

A • • • •

h

B
• • • •

Esta relación no es función pues existe un elemento de A relacionado con dos elementos de B

En este caso no esfunción puesto que un elemento de A no está relacionado con ningún elemento de B

Si f: A → B es una función y x es un elemento cualquiera de A, entonces existe un elemento y que pertenece a B, que está relacionado con x mediante la función f , a tal elemento y se le llama imagen de x mediante f y se denota por y=f(x). La expresión y=f(x), se lee “ y es la imagen de x mediante f ” o “ y es el valorde la función f en x” . Ella representa la regla de asociación que permite asignar a cada elemento del conjunto A, su correspondiente imagen. Ejemplo ilustrativo 1.1 Consideremos los conjuntos B = { 0, 1, 2, 3, 4 }, y la función A = {-2, -1, 0, 1, 2 } y

f : A → B donde f(x) = x2 .

Funciones Reales

2

La regla y=f(x) nos permite encontrar la imagen de cada elemento del conjunto A, lafunción la podemos representar mediante un gráfico o como un conjunto de pares ordenados f = { (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) }

A
-2 -1 0 1 2

f

B
0 1 2 3 4

Figura 1

1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Sea f una función tal que f:A→ B con y=f(x). El conjunto A se llama dominio de la función f y se denota por Domf. Es decir Domf = A. y al conjunto B se le llama codominio de f. Alsubconjunto de B, conformado por todos los elementos relacionados con elementos del dominio mediante la función, lo llamaremos rango de la función f y lo denotaremos por Ragf. Es decir Ragf = {y∈B: y=f(x) para algún x∈A} En el ejemplo ilustrativo 1.1 el dominio es el conjunto A, el codominio es B y el rango es el conjunto formado por las imágenes Ragf = { 0, 1, 4 }.
Diagrama ilustrativo.

CA=Dominio f

A= Conjunto de salida o dominio. B= Conjunto de llegada o codominio. C= conjunto imagen o rango (C está contenido en B) Observaciones.
Figura 2

B

1) Si la función esta definida de A en B entonces, el dominio de dicha función es el conjunto A y el codominio es el conjunto B. 2) Todos los elementos del dominio de una función deben estar relacionados con algún elemento delcodominio (conjunto de llegada). 3) Pueden existir elementos en el codominio de una función (conjunto de llegada) que no son imagen de elemento alguno del dominio. 4) No puede existir ningún elemento del dominio de una función que posea más de una imagen en el conjunto de llegada (codominio).

Funciones Reales

3

Imagen Recíproca. Sea f una función de A en B. Denominaremos imagen reciproca delelemento b ∈ B , al conjunto de todos los elementos de A que según f tienen por imagen al elementos b Correspondencia Recíproca. Sea f una función de A en B. Llamaremos correspondencia recíproca de f a la relación de B en A tal que b estará relacionado con a si y sólo si b es la imagen de a mediante f. Observaciones. 1) La correspondencia recíproca no define en todos los casos una función de B en A.2) Para una función f cualquiera quedará definida su correspondencia recíproca que denotaremos por f −1 , y en caso de ser función la llamaremos función inversa de f. Igualdad de funciones. Sean f y g dos funciones cualesquiera, se dice que las funciones f y g son iguales (f=g) sí y sólo sí: i) Dom f = Dom g ii)

f ( x ) = g ( x ) , para toda x perteneciente al dominio de ambas.

iii)...