Funciones Varias Variables

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
DOMINIO Y GRAFICA DE FUNCIONES
En esta sección estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vida
cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de
una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa
que fabrica dos tipos de artículosdependen de q1 la cantidad de artículos de tipo I y q 2 la cantidad de
artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de
su presión.
Veamos la definición formal de una función real de dos variables.
Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, ( x, y ) , de números reales, D ⊂ R 2 . Una
función real de dos variables reales es una regla queasigna a cada par ordenado ( x, y ) en D un
único número real, denotado por f ( x, y ) .
El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la
función es el rango de la función.
Observación: Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los
valores de la función: z = f ( x, y ) . La variable z es la variable dependiente y x y ylas variables
independientes.

Normalmente no se específica cuál es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos
que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el
conjunto más amplio de ( x, y ) donde tiene sentido evaluar la fórmula, y es un número real. Muchas
veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables larepresentación es una
región en el plano.

Ejemplo 1.-

Sea

f ( x, y ) = y + 4 x 2 − 4 . a) Calcular el dominio de f.

gráficamente. c) Calcule f ( 2,0) , f (−

b) Represéntelo

2
,2) y f (1,−1)
2

Solución:
a) La función está bien definida y es un número real cuando el radicando es mayor o igual a cero, esto
es:
y + 4x 2 − 4 ≥ 0

Así que el dominio es el conjunto de todas las parejas ( x, y )tales que y + 4 x 2 ≥ 4 .
Más formalmente escribimos:
Dom f = {( x, y ) / y + 4 x 2 ≥ 4}
b) Este conjunto es fácil de visualizar a través de un gráfico. Va ser la región del plano limitada por la
curva y + 4 x 2 − 4 = 0 . Primero se traza la curva y + 4 x 2 − 4 = 0 . Reescribiéndola como y = 4 − 4 x 2 ,
la identificamos como una parábola abriendo hacia abajo y cortando el eje y en 4. Para determinarla
región completamente podemos proceder de dos maneras.

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Primer procedimiento: Es claro que nuestra región es el conjunto de puntos (x,y) que satisface la
desigualdad y + 4 x 2 ≥ 4 . Este conjunto lo podemos ver como la unión de todas las curvas

y + 4 x 2 = d con d ≥ 4 .
Entre ellas están y + 4 x 2 = 4 ; y + 4 x 2 = 5 , y + 4 x 2 = 6 , y + 4 x 2 = 7 y todas las intermedias y que
están porencima de éstas. Haciendo el gráfico de todas estas curvas podemos visualizar el dominio de
la función, vea la figura a la derecha.

Segundo procedimiento: Una vez que hemos establecido que es una de las dos regiones del plano
limitada por la curva y + 4 x 2 = 4 , tomamos un punto de prueba en el plano que no este en la curva.

Claramente (0,0) no está sobre la curva. Evaluamos la desigualdad y + 4x 2 − 4 ≥ 0 en este
punto, si satisface la desigualdad entonces la región que contiene el punto de prueba es el conjunto
solución, esto es, es el gráfico del dominio de la función, si no satisface la desigualdad entonces el
conjunto solución a la desigualdad es la otra región.
Como 0 + 4 ⋅ 0 2 − 4 ≥ 0 no se satisface entonces el dominio es la región limitada por la curva
y + 4 x 2 = 4 que nocontiene el (0,0), como efectivamente ya deducimos con el otro procedimiento,
vea la figura como efectivamente está rayada la región que no contiene el punto (0,0)..
c) La evaluación de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable.
Por ejemplo para obtener evaluar f ( 2,0) sustituimos el valor de x por 2 y el de y por 0. Así

f ( 2,0) = 0 + 4(2 ) − 4 = 12 = 2 3
2

2...