Funciones

Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas

1. Definición
2. Operaciones con funciones
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Suma y diferencia
Producto
Cociente
Composición de funciones
Función reciproca (inversa)

3. Estudio de una función:
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Dominio
Recorrido
Puntos de corte
Signo de la función
Simetría
Continuidad
Periodicidad
Crecimiento-Decrecimiento
Máximos y Mínimos

4. Tipos de funciones:
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Función a trozos
Función valor absoluto
Funciones polinomicas
Funciones racionales
Función exponencial
Funciones trigonometricas

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DEFINICIÓN
Una función es una relación entre dos magnitudes siempre que a cada valor de
la variable independiente le corresponde un único valor de la variable
dependiente
La variable independiente se suele representar por x, y laletra y representa
el valor de la variable dependiente. La relación o función que existe entre
ambas se suele representar por la letra f, de la siguiente forma f(x)=y

OPERACIONES CON FUNCIONES
Suma y diferencia
Dadas dos funciones f y g se define la función suma f +g por:
(f +g)(x)=f(x)+g(x)
Ej: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4.
(f +g)(x)=f(x)+g(x)= x+3 + x2 + 2x – 4 = x2 + 3x – 1.

ProductoDadas dos funciones f y g se define la función producto f.g así
(f.g)(x)= f(x).g(x)

Ej: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4.
(f.g)(x)=f(x).g(x)= (x+3) .( x2 + 2x – 4) = x3 + 2x2 – 4x + 3x2+6x -12= x3 + 5x2+2x-12

Cociente
Dadas dos funciones f y g se define la función cociente f/g por:
(f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) sea distinto de 0.
Ej: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4.
(f/g)(x)=f(x)/g(x)=(x+3) /( x2 + 2x – 4)

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Composición de funciones
Dadas las funciones f y g se define la función compuesta:
f compuesta con g : g o f(x) = g(f(x))
Se calcula: poniendo en la expresión de g, en lugar de x, la expresión de f(x).
A continuación, se realizan operaciones para simplificar la expresión.
Ej: Dadas las funciones
f(x)= x +3
y
g(x)= x2
2
2
2
Calcula g of = g(f(x))= (f(x)) = (x+3) = x +6x+9
f o g = f(g(x))= g(x) +3 = x2 + 3

Pongamos otro ejemplo: si f y g son las funciones definidas por:

Función reciproca (inversa)
Se llama inversa de f y se representa por f

-1

cuando cumple que f o f -1= 1

Las gráficas de f y f-1son simétricas respecto a la bisectriz del primer y
tercer cuadrante.
Cálculo práctico de la inversa
Si y = f(x) la expresión def-1 se obtiene despejando la x:
Vamos a verlo con un ejemplo:

Despejamos la x :
Luego: f-1= 2x+3

2. f(x)=x-3

→ x=2.f(x) + 3

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ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN
Dominio de una función
Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
independiente.
Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.
Cuando una función se nos presenta en forma deuna gráfica, simplemente
con observar el eje de abscisas de dicha gráfica podemos saber el dominio de
la función. Porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente
imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica.

En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco
más abajo del eje para que sea bien visible).
En este caso tenemos que D[f(x)] =(- ,2)U(2, 7]
Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica
FUNCIONES POLINOMICAS
Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, las funciones
polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales:
R, puesto que a partir de una expresión polinómica, sustituyendo el valor de
x=a (siendo a un número real) podemos calcular el valor de f(a)= y
Por ejemplo:
f(x)=2x5- 7x + 1; D[f(x)]= R
g(x)= -9x + 3; D[g(x)]= R

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h(x)=5 ; D[h(x)] = R
FUNCIONES RACIONALES
Si la función es racional, Es decir que su expresión es un cociente de dos
polinomios, tenemos que excluir del dominio las raíces del polinomio
denominador (soluciones de la ecuación). Así pues si el polinomio
denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y...