funciones
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε .
El límitede una función en un punto si existe, es único.
Ejemplos
1.
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
2.
Como no coinciden los límiteslaterales, la función no tiene límite en x = 0.
LIMITES AL INFINITO
La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido.¡Pero podemos acercarnos a él!
Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:
x
1/x
1
1.00000
2
0.50000
4
0.25000
10
0.10000
100
0.01000
1,000
0.00100
10,000
0.00010
Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0
Ahora tenemos una situación interesante:
No podemos decir qué pasa cuando x llega ainfinito
Pero vemos que 1/x va hacia 0
Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto
El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:
En otras palabras:
Cuando x va a infinito, 1/x va a 0
Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"
Es una manera matemática de decir que "no estamoshablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".
Resumen
A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.
Lo que pasa en ∞ es indefinido...
1/∞
... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito
Límites al ir a infinito
¿Cuál es el límite de esta función?
y = 2x
Está claro que cuando "x" sehace más grande, le pasa lo mismo a "2x":
x
y=2x
1
2
2
4
4
8
10
20
100
200
...
...
Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:
Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).
Infinito y grado
Hemos visto dosejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.
De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.
Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.
Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito
Pero ten cuidado,una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos.
De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.
Si el grado es:
mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito)
menor que 0, el límite es 0
Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular ellímite
CONTINUIDAD Y DESCONTINUIDAD
CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD
DE FUNCIONES
En esta página se presentan algunas funciones discontinuas en alguno de sus puntos. Esto permitirá comprender mejor los conceptos de continuidad y discontinuidad, antes de formalizar la definición.
Los ejemplos que se muestran también sirven para identificar los distintos tipos de discontinuidades.
Debes reflejar...
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