Función de optimización

FUNCIONES DE OPTIMIZACION DE DOS VARIABLES
DEFINICIÓN: Se dice que la función f(x, y) tiene un máximo relativo en del dominio de f si para todos los puntos (x, y) en un disco circular con centro P. Análogamente, la función f(x, y) tiene un mínimo relativo en del dominio de f si para todos los puntos (x, y) en un disco circular con centro Q.
PRUEBA DE SEGUNDA DERIVADAS PARCIALES PARADETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS
A continuación se verá un procedimiento en el que se usan las derivadas parciales de segundo orden para determinar si cierto punto crítico es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto silla. Este procedimiento es la versión para dos variables de la prueba de la segunda derivada.
Sea una función de x y y cuyas derivadas parciales existen todas, y sea lafunción:

PASO 1: Sea una función de dos variables
PASO 2: Se hallan las derivadas parciales y los puntos críticos

PASO 3: Se hallan las derivadas parciales de segundo orden:

PASO 4: Para cada punto crítico (a, b) encontrado, evalué







Ejemplo: Hallar los extremos relativos de la siguiente función:

Paso 1: Se hallan las derivadas parciales, se igualan a cero para encontrarlos valores críticos:


Paso 2: Los puntos críticos se encuentran remplazando los valores críticos en :
Los puntos críticos son: (1, 2); (-1, -2); (2, 1); (-2, -1)
Paso 3: Para determinar la naturaleza de los puntos críticos, primero se hallan las derivadas parciales de segundo orden:

Paso 4: Luego se forma la función:

Al aplicar la prueba de las segundas derivadas parciales a lospuntos críticos, se obtiene:







METODO DE MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
Este método se incluye una tercera variable que hace posible la resolución de problemas de optimización con restricciones sin tener que despejar primero una de las variables en la ecuación de restricción. El método de los multiplicadores de Lagrange utiliza el hecho de que cualquier extremo relativo de la funciónsujeta a la restricción debe ocurrir en un punto crítico (a, b) de la función:

Donde es una nueva variable (el multiplicador de Lagrange). Para hallar los puntos críticos de F, calcule las derivadas parciales:


Y resuelva las ecuaciones:



Por ultimo evalué en cada punto crítico de F

PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Paso1: Escriba el problemaen la forma:

Paso 2: Resuelva simultáneamente las ecuaciones



Paso 3: Evalué f en todos los puntos hallados en el paso 2. Si existe el máximo (mínimo) requerido, será el máximo (mínimo) de estos valores.
Ejemplo: El departamento de carreteras está planeando construir un área de merenderos para automovilistas a lo largo de una carretera principal. Debe ser rectangular con un área de 5000yardas cuadradas y debe estar cercado en los tres lados no adyacentes a la carretera. ¿Cuál es la cantidad mínima de cercado que será necesaria para completar el trabajo?
x
y Área de Merenderos y
Carretera

El objetivo es minimizar f, el área de merenderos es:

Las derivadas parciales son:

Obtenemos las tres ecuaciones de Lagrange:

Obtenemos λ

Igualamos:

Ahorasustituya en la tercera ecuación de Lagrange para obtener:


Los valores que minimizan la función sujeta a la restricción
es cuando El área optimo de merenderos es 100 yardas de ancho (a lo largo de la carretera), y 50 yardas hacia atrás desde la carretera, y requiere 200 yardas de cercado.



















UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIASCONTABLES
CURSO: Matemática Aplicada
TEMA: Función de Optimización de dos Variables y Multiplicadores de Lagrange
PRACTICA DIRIGIDA 9
1.- Encuentre los puntos críticos de la función dada y clasifique cada uno como máximo relativo, mínimo relativo o punto silla






2.- Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total (en dólares) de producir x unidades de A y...