galois

El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:

¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio, usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces (raíces cuadradas, cúbicas, etc); talcomo existe para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?

El teorema de Abel-Ruffini que es parte de la teoría de Galois, da una respuesta a esta pregunta. La teoría de Galois proporciona no sólo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al quinto, y por qué las soluciones son expresablesmediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.

Además la teoría de Galois proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás. De hecho, la teoría de Galois establece cuándo es posible construir una cierta longitud proporcional a una dada, y gracias a eso pueden responderse a las siguientes preguntas:

¿Qué polígonos regulares son construiblesmediante regla y compás?
¿Por qué no es posible la trisección de un ángulo?

El enfoque de la teoría de Galois usando el grupo de permutaciones

Si tenemos un polinomio puede suceder que algunas de sus raíces estén digamos que "conectadas" mediante varias ecuaciones algebraicas, que cumplan dichas raíces. Por ejemplo, puede suceder que para dos de las raíces, digamos A y B, la ecuación A2+ 5B3 = 7 sea cierta. La idea central de la teoría de Galois es el considerar aquellas permutaciones (o arreglos) de las raíces que tengan la propiedad de que cualquier ecuación algebraica satisfecha por ellas sea satisfecha también tras la permutación o el arreglo. Es importante señalar que nos restringimos a ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son números racionales. (Se pueden especificarciertos cuerpos para los coeficientes, pero en los ejemplos de abajo serán los números racionales los que usemos.)

El conjunto de tales permutaciones formarán un grupo de permutaciones, también llamado Grupo de Galois del polinomio (sobre los números racionales). Un ejemplo:
Primer ejemplo: ecuación cuadrática

Sea la ecuación cuadrática

x^2 -4x +1 = 0

Mediante el uso de lafórmula para la ecuación cuadrática sabemos que sus dos raíces son

A = 2 + \sqrt{3}
B = 2 - \sqrt{3}

Algunas de las ecuaciones algebraicas que satisfacen A y B son

A+B=4
AB=1

En cada una de estas ecuaciones es claro que si intercambiamos los papeles de A y B obtenemos ecuaciones válidas. Pero además esto es cierto, aunque menos obvio, para cualquier ecuación algebraica quesatisfacen A y B. Para probarlo se requiere de la teoría de los polinomios simétricos.

Concluimos que el grupo de Galois del polinomio x^2 -4x +1 consiste en dos permutaciones: la identidad que deja A y B quietas, y la transposición, que intercambia A y B. Como grupo, es isomorfo al grupo cíclico de orden dos, denotado Z/2Z.

Podríamos plantear la objeción de que existe esta otra ecuaciónsatisfecha por A y B:

A-B-2 \sqrt{3} =0

pero que no es cierta cuando intercambiamos los papeles. Sin embargo hemos de observar que no nos importa pues sus coeficientes no son racionales; \sqrt{3} es irracional.

De forma parecida podemos hablar de cualquier polinomio cuadrático ax^2+bx+c, donde a, b y c son números racionales.

Si el polinomio tiene sólo una raíz, por ejemplo x^2 -4x+4 = (x-2)^2, entonces el grupo de Galois es trivial; esto es, contiene sólo a la permutación identidad.
Si tiene dos distintas raíces racionales, por ejemplo x^2 -3x +2 = (x-2)(x-1), el grupo es de nuevo trivial.
Si tiene dos raíces irracionales (inclusive el caso en el que ambas son números complejos), entonces el grupo de Galois contiene dos permutaciones, como en el ejemplo...