Gauss



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Marco Teórico

Tipos de Curvas

Curvatura de Gauss

Curvatura de Gauss y curvatura media:
Tratamos de examinar el significado geométrico de los invariantes traza y determinante deloperador forma.
Sea P un punto de una superficie M y SP el operador forma en P.
La curvatura de Gauss de M es K(P) = det SP .
La curvatura media de M es H(P) = 1/2 traza SP .
De esta definición surge:La curvatura de Gauss y curvatura media se relacionan con las curvaturas principales por: K = k1k2, H = 1/2 (k1 + k2).
La curvatura de Gauss es independiente de la elección de la normal unitaria ala superficie.
En una superficie orientada M las funciones curvaturas principales son:


El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S, es igual a la integral de la divergenciadel campo extendida al volumen V encerrado por S, suponiendo que el volumen V contenga únicamente puntos ordinarios.
Demostración
El volumen se puede vivir en un número arbitrario N, desubvolúmenes.

El flujo través de la cara con un de los dos súbvolúmenes contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de las superficies asociados, Si, a los subvolúmenes es el flujo a través de lasuperficie externa.


Si las Si son suficientemente pequeñas a partir de la definición de divergencia:


Por lo tanto:



Teorema:
También llamado el “teorema de la divergencia”,  relaciona el flujo deun campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentesmenos la suma de todos los sumideros da el flujo de salida neto de una región. Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de vistamatemático es un caso particular del teorema de Stokes.
El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762, e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George...