geologia

BASE
Podemos definir base a cualquier tripla ordenada de R³ , E= e1, e2,e3 que es linealmente independiente a los vectores de R³.
Según un corolario si (e1,e2,e3) es base de R³, todo vector de R³es generado por e1,e2,e3 esto si existen escalares como a1,a2,a3 tal que v=a1e1+a2e2+a3e3.
Esta notación la usaremos:
v= (a1,a2,a3) para indicar que a1,a2,a3 son las coordenadas del vector v enrelación a la base E. Pero si no hay duda en cómo utilizar podemos omitir y expresar de este modo: v=a1e1+a2e2+a3e3
SUMA: Tenemos u= (p1,p2,p3) y v= (r1,r2,r3), por lo tanto u + v = (p1+r1, p2+r2,p3+r3)
u+v= (p1+r1, p2+r2, p3+r3) → (p1+r1)e1 + (p2+r2)e2 +(p3+r3)e3. Obs: para efectuar la suma u+v debe ser la misma base.
MULTIPLICACION: tenemos u = (p1, p2, p3) y β un escalar
Βu=β(p1,p2,p3)
u= (p1,p2,p3) →e1p1+e2p2+e3p3→ β(e1p1+e2p2+e3p3) → (βp1)e1+(βp2)e2+(βp3)e3→ βu=(βp1, βp2,βp3)
De la proposición 3 tenemos:
u=0 si y solo si u= (0, 0,0)
PROPOSICION 1:
Si u= (a1, b1, c1) yv= (a2, b2, c2) son Linealmente dependiente si y solo si sus componentes son proporcionales entre sí.
PROPOCICION 2:
Tenemos u= (a1, b1, c1), v= (a2, b2, c2) y w= (a3, b3, c3) son linealmenteindependiente si y solo si la determinante ≠ 0
a1, b1, c1e
a2, b2, c2 ≠0
a3, b3, c3

DEFINICION 2:
1. u ≠0 es ortogonal a la recta r si existe un segmento AB, tal que AB es ortogonal a r. Al vectornulo se le considera ortogonal.
2. u y v son ortogonales si uno de ellos es nulo de lo contrario hay perpendicularísimo.
3. Son ortogonales los vectores si y solo si ll u + v ll = ll u ll + ll v llDEFINICION 3:
La base E= (e1, e2, e3) es ortogonal si e1, e2, e3 son unitarios y dos a dos ortogonales.

PROPOSICION 4 :
E= (e1, e2, e3) es ORTONORMAL entonces u=xe1+y e2+ ze3

Entonces: llu ll= x²+y²+z²

Mudanza de Base
Como ya sabemos que para expresar cada elementos de f en torno a la base sabemos:
f1= a11 e1+ a21e2+ a31 e3
f2= a12e1+ a22e2+ a32 e3 (1)
f3= a13e1+ a23e3+...