geometria analitica

Capítulo 2

Funciones reales de una variable real.
Generalidades
2.1. Primeros conceptos
2.1.1.

Funciones. Clases particulares de funciones

Recordemos que una aplicación f : A → B se define en términos conjuntistas como una terna
(A, B, G f ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio
o conjunto final de f , y G f , denominado gráfico o gráfica def , es un subconjunto del producto
cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento único y ∈ B de modo que (x, y) ∈ G f (ese
elemento y unívocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicación f
en el punto x o imagen de x por f ).
Definición 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A, B ⊆ R.
Informalmente, dar unafunción f supone dar:
a) su dominio de definición A = dom f ;
b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atención en este curso);
c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a
cada elemento x de A, sin excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x
y f.
Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjuntofinal o la regla de definición) hace
que la función cambie. Por ejemplo, si tenemos una función f : A → B y consideramos un subconjunto
S de A, la restricción de f a S es la función f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, que
no es la misma función f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por la misma regla de
correspondencia (a cada x de S, la restricción f |S hacecorresponder el mismo valor que f ).
En la práctica raras veces se muestra una función como una terna, tal como requeriría su definición
formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la función
en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [BARTLE -S HERBERT, sec. 1.2, págs. 22–25]). En
cuanto al conjunto final de una función, cuando no se mencioneexplícitamente se sobrentenderá que
dicho conjunto es R.
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Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Suele chocar al principiante que a veces la regla de definición de una función aparece dividida
en varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante fórmulas), tendiendo a interpretar
incorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglasse enuncien. Por ejemplo, la
función f : R → R tal que
x,
si x ≥ 0;
f (x) =
−x, si x < 0,
es una sola función, la función valor absoluto, y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en
parte de su dominio (no en todo) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R
y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R.
Dada una función f , emplearemos la expresión « f está definida enS» como sinónimo de que S es
un subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, el mayor subconjunto de R en el que f
está definida.
Definición 2.1.2. Sea f una función con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagen
de S por f al conjunto
f (S) = { f (x) : x ∈ S},
y conjunto antiimagen de T por f al conjunto
f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T },
que será un subconjunto(eventualmente vacío) de A.
El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o
rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene
im f = f (dom f ) = { f (x) : x ∈ dom f }.
Una función f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenes
distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x = y se sigue f (x) = f (y);o, equivalentemente, si dados
x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y.
Una función f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto
imagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de algún (o algunos)
elemento(s) de A.
Una función se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva.
Ejemplos. La...