geometria analitica

Geometría Analítica parte 2

Un movimiento vibratorio producido en un punto en el interior
de la Tierra por la pérdida de estabilidad de masas de la corteza
se denomina movimiento sísmico o terremoto.
El punto en el interior de la Tierra, donde se origina el sismo se
denomina hipocentro y el punto de la superficie terrestre en la
vertical desde el hipocentro, recibe el nombre de epicentro.

E esel epicentro y H es el hipocentro
Hipocentro es la zona en el interior de la tierra, donde se
produce el terremoto.
Epicentro es el punto de la superficie terrestre perpendicular al
hipocentro, donde con mayor intensidad repercuten las ondas
sísmicas.
El movimiento sísmico se propaga concéntricamente y de
forma tridimensional a partir del hipocentro al epicentro.
Cuando las ondas procedentes delhipocentro llegan a la
superficie terrestre se convierten en bidimensionales y se
propagan de forma concéntrica a partir del epicentro.

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Reinaldo Jiménez Santamaría
Problema 1. De dos estaciones sismológicas A y B se reportan
las ondas secundarias de similar intensidad, producidas por un
terremoto. Si la distancia del epicentro a las estaciones es de
5km y las coordenadas en kilómetros deubicación de las
estaciones están dadas por A(10, 2) y B(4,10). Hallar las
coordenadas de la posición del epicentro.
Solución: Analicemos la posición de las estaciones respecto al
epicentro. Si A – E – B, entonces el epicentro es el punto medio
del segmento AB, para que esto se dé, la distancia de A a B
tendrá que ser 10 kilómetros. La verificación la realizamos así:
d ( A, B)  (10  4)2  (2 10)2  36  64  10

Por lo tanto, el punto medio de AB es el epicentro y sus
coordenadas las calculamos así:
 10  4 2  10 
E (h, k )  E 
,
  E (7, 6)
2 
 2

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Geometría Analítica
Problema 2. De dos estaciones sismológicas A y B se reportan
las ondas secundarias de similar intensidad, producidas por un
terremoto. Si la distancia del epicentro a las estaciones es de
5km y lascoordenadas en kilómetros de las estaciones están
dadas por A(10, 2) y B(3,3). Hallar las coordenadas de la
posición del epicentro.
Solución: Analicemos la posición de las estaciones respecto al
epicentro. Si A – E – B, entonces el epicentro E tendría que
estar en el punto medio del segmento AB, para que esto se dé,
la distancia de A a B tendría que ser 10 kilómetros. La
verificación la realizamos así:d ( A, B)  (10  3)2  (2  3)2  49  1  50  2 5

Por ser 2 5  10 , el punto medio E de AB no es el epicentro.
Entonces el epicentro E está en el centro de la circunferencia
que contiene a los puntos A y B. Por lo tanto, d ( A , E)  d ( E , B)
y las coordenadas de epicentro E(h , k) las obtenemos así:
d ( A , E )  d ( E , B)
(h  10)  (k  2) 2  (h  3) 2  (k  3) 2
2

h 2  20h  100 k 2  4k  4  h 2  6h  9  k 2  6k  9
 20h  6h  4k  6k  104  18
14h  2k  86
7h  43  k (1)

Por otro lado, tenemos que la distancia del epicentro E a las
estaciones es de 5 kms, lo cual es equivalente a
(h  3) 2  (k  3) 2  5
h 2  6h  9  k 2  6k  9  25
h 2  6h  k 2  6k  7 (3)

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Reinaldo Jiménez Santamaría
(h  10) 2  (k  2) 2  5
h 2  20h  100  k 2  4k  4 25
h 2  20h  k 2  4k  79 (4)

Sustituyendo (1) en (3) o en (4) se sigue que:
h 2  6h   7h  43  6  7h  43  7
2

h 2  6h  49h 2  602h  1849  42h  258  7
50h 2  650h  2100  0
h 2  13h  42  0
h6 ; h7

(5)

Sustituyendo (5) en (1) se obtienen los valores de k así
h  6 , 7  6  43  k

h  7 , 7  7  43  k

1  k
E (6, 1)

6k
E (7, 6)

Las dos posibles ubicacionesdel epicentro E(h,k) las
representamos en el siguiente diagrama, así.

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Geometría Analítica
Problema 3. Los extremos de una cuerda de un círculo de radio
5 son (2,1) y (3, 2). Determinar el centro.
Solución: El centro lo designamos con el punto C (h, k ). Por ser
los extremos de la cuerda los puntos A(2,1) y B(3, 2). se
cumple que d ( A , C)  d (C , B) y las componentes h y k...