geometria del espacio

CAP´
ITULO I.
GEOMETR´ DEL
IA
ESPACIO EUCL´
IDEO

SECCIONES
1. Vectores. Operaciones con vectores.
2. Rectas y planos en R3 .
3. Curvas y superficies en R3 .
4. Nociones de topolog´ m´trica.
ıa e

1

1. VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES.

En este curso se estudian las funciones f : Rn → Rm , es decir, funciones
definidas sobre el espacio eucl´
ıdeo de dimensi´n n
o
Rn = {(x1, . . . , xn ) : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n},

y con imagen en el espacio an´logo de dimensi´n m, Rm .
a
o
Como la representaci´n gr´fica de estas funciones debe hacerse en el espacio
o
a
Rn+m , debemos recordar en primer lugar los resultados fundamentales de la
geometr´ del espacio eucl´
ıa
ıdeo real Rn .
Como es usual, estableceremos la equivalencia entre los puntos P = (x1 , . . . , xn )
−→
→ −
de Rn y los vectores libres − = OP que unen el origen con el punto P .
v
Las operaciones b´sicas que se definen en el espacio Rn son las siguiena
tes:
→
→
Suma de vectores. Dados − = (x1 , . . . , xn ), − = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn ,
v
w
→ →
− + − = (x + y , . . . , x + y ).
v
w
1
1
n
n
→
Multiplicaci´n por un escalar. Dados a ∈ R, − = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
o
v
→a− = (ax1 , . . . , axn ).
v
→
Producto escalar de vectores. Dados dos vectores − = (x1 , . . . , xn ),
v
→
− = (y , . . . , y ) ∈ Rn ,
w
1
n
→ →
− · − = (x y , . . . , x y ).
v w
1 1
n n
Con estas operaciones, Rn tiene estructura de espacio vectorial (de ah´ que
ı
los elementos de Rn reciban el nombre de vectores, a diferencia de los elementos de R que llamaremos escalares).
Todovector de Rn puede descomponerse de forma unica como combinaci´n
´
o
lineal de los vectores
− = (1, 0, . . . , 0),
→
u1
− = (0, 1, . . . , 0),
→
u2
...
......
− = (0, 0, . . . , 1),
→
un
los cuales corresponden a las direcciones de los ejes de coordenadas rectangulares. Estos vectores forman lo que llamamos la base can´nica de Rn .
o
El producto escalar verifica las siguientespropiedades b´sicas:
a
2

→ →
→
i) − · − > 0 si − = 0;
v v
v
→ →
→
ii) − · − = 0 si − = 0;
v v
v
→ → → →
iii) − · − = − · − ;
v w
w v
→ →
→ → →
→
iv) a(− · − ) = (a− ) · − = − · (a− );
v w
v
w
v
w
→ → →
→ →
→ →
v) − · (− + − ) = (− · − ) + (− · − ).
u
v
w
u v
u w
→
Llamamos norma de un vector − = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn al n´mero real posiv
u
tivo
√
→
− = − ·− = x2 + · · · + x2 .
→ →
v
v v
n
1
−
−
→
→
→
Si − = OP , la norma de − representa la distancia del punto P al origen
v
v
de coordenadas.
De forma an´loga, se define la distancia entre dos puntos P y Q como
a
−→ −
−
−
→
d(P, Q) = OQ − OP .
Las siguientes propiedades son resultados importantes.
→ →
→
→
→ →
Desigualdad triangular: − + − ≤ − + − , ∀− , − ∈ Rn .
v
w
v
w
vw
→ →
→
→
→ →
Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |− · − | ≤ − · − , ∀− , − ∈
v w
v
w
v w
n.
R
→ →
→ →
→
→
Teorema de Pit´goras: − · − = 0 ⇐⇒ − + − 2 = − 2 + − 2 .
a
v w
v w
v
w
→ →
v w
u
Definimos el ´ngulo entre dos vectores − , − ∈ Rn como el n´mero ϑ ∈ [0, π]
a
tal que

→ →
− ·−
v w
cos ϑ = −
→ · − .
→
v
w

Esta definici´n proporciona otra f´rmula para elproducto escalar de dos
o
o
vectores:
→ →
− · − = − · − · cos ϑ.
→
→
v w
v
w
→ →
En el caso de que ϑ = π/2, los vectores − y − son perpendiculares u ortogonales.
v w
→ →
De la definici´n deducimos que, en este caso, − · − = 0.
o
v w
En el caso particular de R3 se define tambi´n el producto vectorial de dos
e
→
− = (x , x , x ) y − = (y , y , y ) como el siguiente vector:
→
vectores vw
1 2 3
1 2 3
→ → →
− − −
i
j k
→ →
− × − = (x y − x y , x y − x y , x y − x y ) =
v
w
x1 x2 x3 ,
2 3
3 2 3 1
1 3 1 2
2 1
y1 y2 y 3
→
−
−
→
→
−
donde denotamos, como es usual, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1)
a los vectores unitarios de la base can´nica.
o
3

Destacaremos las siguientes propiedades b´sicas del producto vectorial:
a
→ →
→
1) − ×...