Geometria En El Espacio Pdf

Geometr´ en el espacio
ıa

1.

Coordenadas de un vector

En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto de dependencia lineal tiene una interpretaci´n
o
geom´trica sencilla. Dos vectores son dependientes o uno de ellos es combinaci´n lineal del otro si pueden
e
o
ser representados sobre la misma recta. Tres vectores son dependientes si pueden ser representados en elmismo plano.
Supongamos tres vectores independientes e1 , e2 y e3 . Vamos a ver que cualquier otro vector v puede
escribirse como combinaci´n lineal de estos tres vectores.
o
z e3 
T




0
v




e3
T

y e2
 e2
E
e1  E

C







 

xe1

s
C



En efecto de la figura se desprende que:
v = xe1 + y e2 + z e3
y por consiguiente v escombinaci´n lineal de e1 , e2 y e3 . El n´mero m´ximo de vectores libres indepeno
u
a
dientes es 3 y por eso se dice que el espacio es tridimensional. Un conjunto {e1 , e2 , e3 } formado por tres
vectores independientes es una base del conjunto de vectores libres del espacio. Los n´meros (x, y, z ) que
u
permiten expresar un vector v como combinaci´n lineal de los vectores de la base sellaman coordenadas
o
de v en la base {e1 , e2 , e3 }.
Las operaciones de suma de vectores y de producto de vectores por n´meros resultan muy sencillas cuando
u
los vectores se representan por medio de sus coordenadas. As´
ı
}
u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3
=⇒ u + v = (u1 + v1 )e1 + (u2 + v2 )e2 + (u3 + v3 )e3
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3
de forma que la suma de dos vectores tiene como coordenadasla suma de las coordenadas de ambos
vectores.
De forma similar si u tiene como coordenadas (u1 , u2 , u3 ), el vector λu tiene coordenadas (λu1 , λu2 , λu3 ).
Ejercicio 1 Dados los vectores u(3, m, 5) y v (6, 4, m − 3) calcular el valor que tiene que tomar m para
que los dos vectores tengan la misma direcci´n.
o
1

2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL

2

Si dos vectores u y v (v1 , v2, v3 ) tienen la misma direcci´n son linealmente dependientes, es decir, debe
o
cumplirse que

 u1 = λv1
u1
u2
u3
u2 = λv2
u = λv =⇒ (u1 , u2 , u3 ) = λ(v1 , v2 , v3 ) =⇒
=⇒
=
=

v1
v2
v3
u3 = λv3
en donde la ultima igualdad es v´lida unicamente en el caso de que v1 , v2 y v3 sean distintos de cero. En
´
a
´
caso de que alg´n denominador sea cero, el numerador tambi´ndebe serlo. En conclusi´n, dos vectores
u
e
o
tienen la misma direcci´n si sus coordenadas son proporcionales.
o
Aplicando este resultado a los vectores del problema resulta:
uv

m
5
3
=
=
6
4
m−3

=⇒

La igualdad entre la primera fracci´n y la segunda produce:
o
m
3
=
6
4

=⇒

6m = 12

=⇒

m=2

y la igualdad entre la primera y la tercera:
3
5
=
6
m−3

=⇒3m − 9 = 30

=⇒

m = 13

Como deben cumplirse ambas igualdades, el problema no tiene soluci´n.
o

2.

Producto escalar. Base ortonormal

Definici´n 1 El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus m´dulos por el coseno del
o
o
a
´ngulo que forman:
u · v = |u||v | cos α
donde α es el ´ngulo que forman los dos vectores.
a
Muchas veces se utiliza el productoescalar para calcular el ´ngulo que forman dos vectores. En este caso,
a
despejando el ´ngulo en la definici´n anterior se obtiene:
a
o
cos α =

u·v
|u||v |

El m´dulo de un vector puede obtenerse a partir del producto escalar del vector por s´ mismo:
o
ı
√
u · u = |u||u| cos 0 = |u|2 =⇒ |u|2 = u · u =⇒ |u| = u · u
El producto escalar puede definirse tambi´n como el producto del m´dulo deuno de los vectores por la
e
o
proyecci´n de otro sobre ´l.
o
e

O



0


v




−
→
ˆ
u · v = |u| |v | cos O = |u||OA|
A
u

E

2 PRODUCTO ESCALAR. BASE ORTONORMAL

3

Ejercicio 2 Demostrar que:
1. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.
2. El producto escalar de dos vectores co la misma direcci´n es igual a m´s o menos el producto...