Grupo Permutaciones

Grupo de permutaciones
Nombre: Margarita Martínez Lizana Fecha: 11 de Diciembre 2012

Profesor : Alonso Quiroz

Permutaciones
 Definición (permutaciones): sea A un conjunto. Una permutación de A es una función biyectiva de A en A. Al conjunto de A lo notamos ������������ . Si A={1,2,…,n},������������ lo notamos ������������

observación
 i) |Sn| = n!  ii) La composición de dospermutaciones es una permutación. La identidades una permutación y la inversa de un permutación es una permutación.

Grupo de permutaciones
 Definición (Grupo de Permutación). Sea A un conjunto. Al grupo
 < ������������ ,°,id>, donde ° es la composición, lo llamamos el grupo de permutaciones de A.

Teorema
 Teorema Si A = ������ = ������������
������∈ 1,…,������

, ������������������������������ y Sn son isomorfos.

 Demostración: Defina ∅:������������ → ������������ por ∅(������): ������ ������ ↔ ������������(������) . Sea α ϵ ������������ y defina ������ ∶ 1, … , ������ → 1, … , ������ por ������ ������ = ������ si ∝ ������������ = ������������ . como α es una permutación σ también y ∅ ������ = ������, luego Ф es sobreyectiva.  Ahora ∅ ������ ∘ ������ , = ������������∘������,
������

= ∅������ ������������,

������

= ∅ ������ ∘ ∅(������ , )(������������ )

Así ∅ ������ ∘ ������ , = ∅ ������ ∘ ∅(������). Luego Ф es un isomorfismo .

Notación
 A las permutaciones σ ϵ ������������ , las notamos 1 ������(1) 2… ������ ������ 2 … ������������



 Ejemplo: consideremos el conjunto ������3 = ������������ , ������1 , ������2 , ������3 , ������4 ������5 donde ������������ sonpermutaciones definidas en un conjunto de 3 elementos digamos A={1,2,3}

 ������0 =

1 1 1 2

2 3 1 2 , ������1 = 2 3 2 3

3 1 , ������2 = 1 3

2 3 1 2 2 3 3 2

 ������3 =

2 3 1 2 3 1 , ������4 = , ������5 = 1 3 3 2 1 1

 Definición (Orbita): Sea σ ϵ SA y sea a ϵ A. Al conjunto {������ ������ (a) : k ϵ Z} lo llamamos la orbita de a según ������.  Teorema : Sea σ ϵ SA. Lasorbitas de σ forman una partición de A.  Demostración: Defina en A la relación ~ por: a~ b si existe k ϵ Z tal que  ������ ������ (a) = b. Así a ~ b si y solo si b esta en la orbita de a según σ. Ahora ������ 0 = id  luego ~ es reflexiva. Si b = ������ ������ (a), entonces a = ������ −������ (b), luego ~ es simétrica.  Ahora bien si b = ������ ������1 (a) y c = ������ ������2 (b), c = ������������1+������2 (a), luego ~ es transitiva.  Ahora como ~ es relación de equivalencia, sus clases, que son las orbitas de σ forman un partición de A.

Definición (ciclo, transposición)
 i) Una permutación con a lo mas una orbita de mas de un elemento es un ciclo. Si σ ϵ SA es un ciclo tal que la orbita con mas de un elemento es ������ = ������ 1 (������) ������∈ 1,…,������−1 , , notamos por (a σ (a)σ^2(a) …σ^n-1(a)), y decimos que es un n-ciclo.  ii) Una transposición es un 2-ciclo.  iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus orbitas de mas de un elemento son disyuntas.  Ejemplo. Continuando con en S3, p = (1 2 3), p^2 = (1 3 2), σ= (1 2), pσ = (1 3) y p^σ = (2 3).  Lema Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n -1 transposiciones.  Demostración: Sea σ ϵ SA un n-ciclo, con σ= (a1 a2… an). Tenemos entonces σ = (a1 an)(a1 an - 1) … (a1a2).

 Teorema Toda permutación en Sn se puede escribir como producto ciclos

disyuntos.
 Demostración: Sea σ ϵ Sn, y ������������ ������ ������ {1,…������} la colección de sus orbitas. Sea ������1 ϵSn tal que ������������ (a) = σ(a) si a ϵ ������������ y ������1 (a) = a de lo contrario. Así los ������������ son  ciclos disyuntos y σ =∏������ ∈{1,…,������} ������������ (observe que como los ciclos son disyuntos no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho de usar la productoria aunque el grupo no sea abeliano).  Corolario Toda permutación en Sn, con n > 1, se puede expresar como producto de transposiciones.  Veamos ahora que Sn se divide en dos clases disyuntas,...