Gu A 1 C Lc I N Meros Reales

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE INGENIERIA
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

GUÍA N° 1 CÁLCULO I
Números reales.
1. Simplifique las expresiones.
y  y2
(a) 2
.
y 1
2x3  x 2  6x
,
2x 2  7x  6
t 3 t 3
(c) 2
.

t  9 t2 9

(b)

x 2  7 x  12 x 2  5 x  6

.
x 2  3x  2 x 2  6 x  9
2 x 2  3x  1 x 2  6 x  5
(e) 2

.
x  2 x  15 2 x 2  7 x  3

(d)

x3
x 1 .
(d)
x
2
x  2x 1
1
2

x5 x3
x
2
(f)
.

2
x 1
( x  1)

(e)

(g) u  1 

u
.
u 1

2
1
.
 2
x  3 x  7 x  12
1
1
(i)
.
 2
x3 x 9
2
3
4
(j) 
.
 2
x x 1 x  x
1
1
(k) 2
,
 2
x  3x  2 x  2 x  3

(h)

Sol: 

y
y1

( 2 x3 ) x
2 x3
1
Sol: 2
t 9

Sol:

Sol:

x4
x1

Sol:

( 2 x1 ) ( 2 x1 )
( x5 )2

2
Sol: ( x1 ) x

Sol:
Sol:
Sol:
Sol:
Sol:
Sol:
Sol:

3 x7
( x5 ) (x3 )
3 x2
( x1 )2
u 23 u1
u1
2 x7
( x4 ) ( x3 )
x2
( x3 ) ( x3 )
5 x6
x ( x1 )
1
5
( x1 ) ( x3 ) ( x2 )

x y

y x
(l)
.
1
1

x2 y2
5
2

(m) x  1 x  1 .
x
1

x 1 x 1

Sol: y x

Sol:

x 2  y 2
.
x 1  y 1
1
1

(o) a  h a
h

(n)

1  ( x  h) 1  x

2  ( x  h) 2  x
(p)
h

x
(q) 1  
2
 1 x

Sol: 

xy
yx

Sol: 

1
(ah ) a

Sol: 3

2


 .



3 x7
x 2 x1
2

Sol:

1
( 2xh ) ( 2x )

1
1 x2

.

2. Simplifique la expresión.
(a)

(b)

(c)

2(1  x)1 / 2  x(1  x) 1 / 2
.
x 1

Sol:

3(1  x)1 / 3  x(1  x) 2 / 3
.
( x  1) 2 / 3

Sol:

3x
(7  3 x) 1 / 2
2
.
7  3x

(7  3 x ) 1 / 2 

2x
( 1x )

32 x
( 1x )

Sol:

( 3/2 )

( 4/3 )

1
143 x
2 73 x ( 73 x )

3.Racionalice el denominador.
(a)
(b)

2
3 5
2

.

2 7

3 1
 5
2 2
2
2
2  7
Sol: 
5
5

Sol:
.

y

(c)

3 y

.

Sol: 

y ( 3  y )
3y

4. Racionalice el numerador.
(a)

1 5
.
3

Sol: 

(b)

r 2
.
5

Sol:

(c)

x2 1  x .

Sol:

4
1
3 1 5
1
2
r
5
5
r  2
1

x21 x
5. Determine si los valores dados de las variables son solución de la ecuación.

(a)

1
1
1

 , (i) x = -3 ,(ii) x = 3. Solución: x = 3 es solución de la ecuación dada.
x x3 6

(b)

x 2  7  x  1 , (i) x = 4 , (ii) x = -4. Solución: x = 4 es solución de la ecuación dada.

6. Resuelva la ecuación.
(a) 2(1  x)  3(1  2 x)  5 .
1 4

 1.
x 3x
1
t
1
(c)

 .
t  1 3t  2 3

(b)

3
Sol: x   .
4
-1
Sol: x
3
8
Sol: t
11

(d) (t  4) 2  (t  4) 2  32 .
Sol: t-2
-4
2
6
(e)  5   4 .
Sol:x
9
x
x
29
2x  7 2
(f)
Sol: x
 .
2
2x  4 3
(g) x  4  2 x .
Sol: x-4
1
5
2
(h)
.
Sol: { x-4 }
 2

x3 x 9 x3
7. Determine las soluciones reales de la ecuación.
(a) x 2  2 x  8  0 .

Sol: { x4 }, { x-2 }

(b) x 2  12 x  27  0 ,

(c) 3 x 2  6 x  5  0 ,
(d) 4 x 2  16 x  9  0 ,
x2
x5
5
28
(e) 3  5 z  z 2  0 , (f) x 2  5 x  1  0 , (g)
 50 , (h)
,

 2
x  100
x2x2 x 4
(i) x 4  16  0 , (j) x 4  x 3  2 x 2  0 , (k) 2 x  1  1  x , (l) 5  x  1  x  2 ,
Sol: 21
(n) 4( x  1)1 / 2  5( x  1) 3 / 2  ( x  1) 5 / 2  0 . Sol: { x0 }, { x3 }, { x-1 }
1
4 4
(o) x 4 / 3  5 x 2 / 3  6  0 , (p) x 1 / 2  3 x 1 / 3  3 x 1 / 6  9 , (q) 3  2   0 ,
x
x
x
3
-3
(r) 2 x  3 .
Sol: { x }, { x }
2
2
(m)

x5  x  5.

(s) x  4  0.01 .Sol: 4.010000000, 3.990000000
8. Dar una expresión equivalente de cada una de las siguientes utilizando como mínimo
una vez menos el signo de valor absoluto.
(i)
2 3 5 7 .
(ii)

( ab  a  b ) .

(iii)

( ab  c  abc ) .

(iv)

x 2  2 xy  y 2 .

(v)

( 2 3  5 7 ).

9. Resuelva la ecuación para la variable indicada.
Sol: R

(a) PV  nRT ; para R .
(b) A  2lw  2 wh  2lh ; para h ,(c)
1
(d) V   r 2 h ; para r ,
3
2

i 

(e) A  P1 
 ; para i .
 100 

PV
nT

ax  b
 2 ; para x ,
cx  d

2 P2 P A
2 P2 P A

, 50
Sol: i 50
P
P





RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES
Exprese la cantidad dada en términos de la variable indicada.
1. El interés obtenido después de 2 años en una inversión al interés simple del 7% por
año; x = número de...