Guia de ecuaciones polinomiales

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA
Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer término es un
polinomio y el segundo es cero.Así, una ecuación polinómica de grado n se puede escribir de la
forma:
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0
donde an, an-1, ... y a0 son los coeficientes de la ecuación y an ≠ 0
Ejemplo 6:
a) 4x - 5 = 0 es una ecuación polinómica de grado 1
b) 3x2 - 5x + 8 = 0 es una ecuación polinómica de grado 2
c) 1 - x6 = 7 + 2x es una ecuación polinómica de grado 6
d)

x2 - 1
x-1
=
es una ecuaciónpolinómica de grado 2
4
8

e) Las siguientes ecuaciones no son polinómicas: 4x - 5 x = 0, 1 + ex = 7,

1
x2 - 1
=
x
4

Ecuaciones polinómicas de primer grado
Una ecuación polinómica de primer grado o lineal es equivalente a una de la forma ax + b = 0, con
a ≠ 0.
Para resolverla se pasan todos los términos con x a un miembro y los que no tienen x al otro, por
último se despeja laincógnita y se obtiene una única solución:
-b
ax + b = 0 ⇒ ax = -b = 0 ⇒ x =
a
Ejemplo 7: Para resolver la ecuación 7x - 18 = 3x, se realizan los siguientes pasos:
1º) se pasa 18 sumando al segundo miembro

7x = 3x + 18

2º) se pasa 3x restando al primer miembro

4x = 18

3º) se pasa 4 dividiendo al segundo miembro

x=

Por tanto, la ecuación 7x - 18 = 3x tiene una única soluciónque es x =

18
9
=
4
2

9
2

Ecuaciones polinómicas de segundo grado
Una ecuación polinómica de segundo grado o cuadrática es equivalente a una ecuación de la forma
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Se puede demostrar que las soluciones de una ecuación de segundo grado vienen dadas por:
x =

-b ±

b2 - 4ac
2a

A la expresión b2 - 4ac que aparece dentro de la raíz cuadrada de lafórmula anterior se le llama
discriminante de la ecuación. Teniendo en cuenta que para resolver la ecuación es necesario
calcular la raíz cuadrada del discriminante se tienen los siguientes casos:

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Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones einecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

•

Si b2 - 4ac > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones distintas.

•

Si b2 - 4ac = 0 entonces la ecuación tiene una única solución que es doble o de multiplicidad
2 (se puede considerar que la ecuación tiene dos soluciones iguales).

•

Si b2 - 4ac < 0 entonces la ecuación no tiene solución.

Observar que enesta unidad se considera que se resuelven las ecuaciones en el conjunto de los
números reales. Si se hiciera la resolución en el conjunto de los números complejos, la conclusión
del apartado c) sería que la ecuación no tiene raíces reales pero sí complejas. (Ver la Unidad
Didáctica de Números Complejos)
Ejemplo 8: Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 2x2 + 5x - 3 = 0.Aplicando la fórmula se tiene x =
Por tanto, las soluciones son x =

-5 ±
52 - 4.2.(-3)
=
2.2

-5 ±

-5 ± 49
-5 ± 7
25 + 24
=
=
=
4
4
4

1
y x = -3.
2

b) 4x2 - 12x + 9 = 0. Aplicando la fórmula se tiene x =
Por tanto, la única solución es x =

12 ±

12 ±
122 - 4.4.9
=
2.4

1
2
-3

144 - 144
12
3
=
=
8
2
8

3
que es doble o de multiplicidad 2.
2c) x2 - 2x + 9 = 0. Aplicando la fórmula se tiene x =

2±

2 ± -32
(-2)2 - 4.1.9
=
y se concluye que no existe solución ya
2
4

que el discriminante es negativo.

En la resolución de determinadas ecuaciones polinómicas de grado 2 no merece la pena aplicar la
fórmula anterior. En concreto, cuando el coeficiente b o c es cero la resolución es inmediata
teniendo en cuenta que:
•...